მეორე ხარისხის მრავალწევრების ფაქტორირების 6 გზა (კვადრატული განტოლებები)

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-19 22:13

პოლინომი შეიცავს ცვლადს (x) სიმძლავრით, რომელიც ცნობილია ხარისხით და რამდენიმე ტერმინს და/ან მუდმივობას. პოლინომიის ფაქტორი ნიშნავს განტოლების დაშლას უფრო მარტივ განტოლებებად, რომელთა გამრავლებაც შესაძლებელია. ეს უნარი არის ალგებრა 1 და ზევით და შეიძლება ძნელი მისახვედრი იყოს, თუ თქვენი მათემატიკის უნარი არ არის ამ დონეზე.

ნაბიჯი

დაწყება

ნაბიჯი 1. შექმენით თქვენი განტოლება

კვადრატული განტოლების სტანდარტული ფორმატი არის:

ნაჯახი² + bx + c = 0

დაიწყეთ თქვენი განტოლების პირობების შეკვეთით უმაღლესიდან ყველაზე დაბალ სიმძლავრეზე, ისევე როგორც ამ სტანდარტულ ფორმატში. Მაგალითად:

6 + 6x² + 13x = 0

ჩვენ განვათავსებთ ამ განტოლებას ისე, რომ უფრო ადვილი იყოს მუშაობა ტერმინების გადაადგილებით:

6x² + 13x + 6 = 0

ნაბიჯი 2. იპოვეთ ფორმის ფაქტორი ერთ -ერთი შემდეგი მეთოდის გამოყენებით

მრავალწევრის ფაქტორინგი იძლევა ორ უფრო მარტივ განტოლებას, რომელთა გამრავლება შესაძლებელია ორიგინალური მრავალწევრის წარმოსადგენად:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

ამ მაგალითში (2x + 3) და (3x + 2) არის ორიგინალური განტოლების ფაქტორები, 6x² +13x+6.

ნაბიჯი 3. შეამოწმეთ თქვენი სამუშაო

გაამრავლეთ თქვენს ხელთ არსებული ფაქტორები. შემდეგ, შეუთავსეთ ტერმინები და თქვენ დასრულდა. Ით დაწყება:

(2x + 3) (3x + 2)

შევეცადოთ გავამრავლოთ ტერმინები PLDT გამოყენებით (პირველი - გარეთ - შიგნით - ბოლო), რის შედეგადაც:

6x² + 4x + 9x + 6

აქედან, ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ 4x და 9x, რადგან ისინი ჰგავს ტერმინებს. ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენი ფაქტორები სწორია, რადგან ვიღებთ ჩვენს თავდაპირველ განტოლებას:

6x² + 13x + 6

მეთოდი 1 -დან 6: სასამართლო და შეცდომა

თუ თქვენ გაქვთ საკმაოდ მარტივი მრავალწევრი, შესაძლოა თქვენ თვითონ შეძლოთ ფაქტორების პოვნა მათზე დაკვირვებით. მაგალითად, პრაქტიკის შემდეგ ბევრ მათემატიკოსს შეუძლია გაარკვიოს, რომ განტოლება 4x² + 4x + 1 აქვს ფაქტორი (2x + 1) და (2x + 1) მხოლოდ მას ხშირად უყურებთ. (ეს, რა თქმა უნდა, ადვილი არ იქნება უფრო რთული მრავალწევრებისათვის). ამ მაგალითისთვის, გამოვიყენოთ ნაკლებად ხშირად გამოყენებული განტოლება:

3x² + 2x - 8

ნაბიჯი 1. დაწერეთ a და c ტერმინის ფაქტორების სია

ცულის განტოლების ფორმატის გამოყენება² + bx + c = 0, განსაზღვრეთ a და c ტერმინები და ჩაწერეთ ფაქტორები, რომლებიც ორივე ტერმინს აქვს. 3x- ისთვის² + 2x - 8, რაც ნიშნავს:

a = 3 და აქვს ფაქტორების ერთობლიობა: 1 * 3

c = -8 და აქვს ოთხი ფაქტორი: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 და -1 * 8.

ნაბიჯი 2. ჩაწერეთ ფრჩხილების ორი ნაკრები ცარიელი ადგილებით

თქვენ შეავსებთ თქვენს მიერ შექმნილ ბლანკებს მუდმივობით თითოეული განტოლებისთვის:

(x) (x)

ნაბიჯი 3. შეავსეთ ბლანკები x– ის წინ, a– ს მნიშვნელობის ფაქტორების შესაძლო წყვილით

ტერმინისთვის a ჩვენს მაგალითში, 3x²ჩვენი მაგალითისთვის მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა არსებობს:

(3x) (1x)

ნაბიჯი 4. შეავსეთ ორი ბლანკი x- ის შემდეგ მუდმივების წყვილი ფაქტორებით

დავუშვათ, ჩვენ ვირჩევთ 8 და 1. ჩაწერეთ მათში:

(3x

ნაბიჯი 8.)(

Ნაბიჯი 1

ნაბიჯი 5. განსაზღვრეთ ნიშანი (პლუს ან მინუს) ცვლადსა და რიცხვს შორის

ორიგინალური განტოლების ნიშნებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შესაძლებელი იყოს მუდმივების ნიშნების ძებნა. დავუშვათ, რომ ჩვენ ვუწოდებთ ორ მუდმივას h და k ჩვენს ორ ფაქტორს:

თუ ცული² + bx + c შემდეგ (x + h) (x + k)

თუ ცული² - bx - c ან ცული² + bx - c შემდეგ (x - h) (x + k)

თუ ცული² - bx + c შემდეგ (x - h) (x - k)

ჩვენი მაგალითისთვის, 3x² + 2x - 8, ნიშნებია: (x - h) (x + k), რაც გვაძლევს ორ ფაქტორს:

(3x + 8) და (x - 1)

ნაბიჯი 6. შეამოწმეთ თქვენი არჩევანი პირველი გამრავლებული გამრავლების (PLDT) გამოყენებით

პირველი სწრაფი ტესტი არის იმის დადგენა, აქვს თუ არა საშუალო ტერმინს მინიმუმ სწორი მნიშვნელობა. თუ არა, თქვენ შეიძლება არასწორი c ფაქტორები შეარჩიოთ. მოდით შევამოწმოთ ჩვენი პასუხი:

(3x + 8) (x - 1)

გამრავლებით ვიღებთ:

3x² - 3x + 8x - 8

ამ განტოლების გამარტივება მსგავსი ტერმინების (-3x) და (8x) დამატებით, ჩვენ ვიღებთ:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

ახლა ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ არასწორი ფაქტორები:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

ნაბიჯი 7. საჭიროების შემთხვევაში შეცვალეთ თქვენი არჩევანი

ჩვენს მაგალითში, ვცადოთ 2 და 4 ნაცვლად 1 და 8:

(3x + 2) (x - 4)

ახლა ჩვენი ტერმინი არის -8, მაგრამ ჩვენი გარე/შიდა პროდუქტი (3x * -4) და (2 * x) არის -12x და 2x, რაც ერთად არ გამოიღებს სწორ b +2x ტერმინს.

-12x + 2x = 10x

10x2x

ნაბიჯი 8. საჭიროების შემთხვევაში შეცვალე შეკვეთა

შევეცადოთ გავცვალოთ 2 და 4:

(3x + 4) (x - 2)

ახლა ჩვენი c ტერმინი (4 * 2 = 8) სწორია, მაგრამ გარე/შიდა პროდუქტი არის -6x და 4x. თუ ჩვენ გავაერთიანებთ მათ:

-6x + 4x = 2x

2x -2x ჩვენ საკმაოდ ახლოს ვართ 2x– თან, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ, მაგრამ ნიშანი არასწორია.

ნაბიჯი 9. საჭიროების შემთხვევაში ორმაგად შეამოწმეთ თქვენი ტეგები

ჩვენ ვიყენებთ იმავე წესრიგს, მაგრამ გავცვლით განტოლებებს, რომლებსაც აქვთ მინუს ნიშანი:

(3x - 4) (x + 2)

ახლა ტერმინი c არ არის პრობლემა და ამჟამინდელი გარე/შიდა პროდუქტი არის (6x) და (-4x). რადგან:

6x - 4x = 2x

2x = 2x ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ დადებითი 2x საწყისი პრობლემიდან. ეს უნდა იყოს სწორი ფაქტორები.

მეთოდი 2 დან 6: დაშლა

ეს მეთოდი განსაზღვრავს a და c ტერმინების ყველა შესაძლო ფაქტორს და გამოიყენებს მათ სწორი ფაქტორების მოსაძებნად. თუ რიცხვები ძალიან დიდია ან გამოცნობა დროში გადის, გამოიყენეთ ეს მეთოდი. მოდით გამოვიყენოთ მაგალითი:

6x² + 13x + 6

ნაბიჯი 1. გავამრავლოთ ტერმინი a ტერმინით c

ამ მაგალითში a არის 6 და c ასევე 6.

6 * 6 = 36

ნაბიჯი 2. მიიღეთ ტერმინი b ფაქტორინგითა და ტესტირებით

ჩვენ ვეძებთ ორ რიცხვს, რომლებიც წარმოადგენენ პროდუქტის a * c ფაქტორებს, რომლებიც ჩვენ გამოვყავით და ასევე ვამატებთ ტერმინს b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

ნაბიჯი 3. ჩაანაცვლეთ ორი რიცხვი, რომელსაც მიიღებთ თქვენს განტოლებაში b ტერმინის დამატების შედეგად

მოდით გამოვიყენოთ k და h, რომ წარმოვაჩინოთ ორი რიცხვი, რომლებიც გვაქვს, 4 და 9:

ნაჯახი² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

ნაბიჯი 4. მრავალწევრის ფაქტორი ჯგუფების მიხედვით

განალაგეთ განტოლებები ისე, რომ თქვენ აიღოთ პირველი და მეორე ტერმების უდიდესი საერთო ფაქტორი. ფაქტორთა ჯგუფი ერთი და იგივე უნდა იყოს. დაამატეთ უდიდესი საერთო ფაქტორი და განათავსეთ იგი ფრჩხილებში ფაქტორთა ჯგუფის გვერდით; შედეგი არის თქვენი ორი ფაქტორი:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

მეთოდი 3 დან 6: სამმაგი თამაში

დაშლის მეთოდის მსგავსად, სამმაგი თამაშის მეთოდი იკვლევს a და c ტერმინების გამრავლების და b მნიშვნელობის გამოყენების შესაძლო ფაქტორებს. სცადეთ გამოიყენოთ მაგალითის განტოლება:

8x² + 10x + 2

ნაბიჯი 1. გავამრავლოთ ტერმინი a ტერმინით c

ანალიზის მეთოდის მსგავსად, ეს დაგვეხმარება b ვადის კანდიდატების გამოვლენაში. ამ მაგალითში a არის 8 და c არის 2.

8 * 2 = 16

ნაბიჯი 2. იპოვეთ ორი რიცხვი, რომლებიც რიცხვზე გამრავლებისას წარმოქმნიან ამ რიცხვს ჯამით, რომელიც ტოლია b ტერმინისა

ეს ნაბიჯი იგივეა, რაც ანალიზი - ჩვენ ვამოწმებთ და ვტოვებთ მუდმივობის კანდიდატებს. ტერმინების a და c არის 16, ხოლო ტერმინი c არის 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

ნაბიჯი 3. მიიღეთ ეს ორი რიცხვი და შეამოწმეთ ისინი სამმაგი თამაშის ფორმულაში ჩართვის გზით

აიღეთ ჩვენი ორი რიცხვი წინა საფეხურიდან - მოდით ვუწოდოთ მათ h და k - და ჩავრთოთ ისინი განტოლებაში:

((ცული + თ) (ცული + კ))/ ა

ჩვენ მივიღებთ:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

ნაბიჯი 4. გაითვალისწინეთ, რომ მრიცხველის ორი ტერმინიდან რომელიმე იყოფა a- ზე

ამ მაგალითში ჩვენ ვნახეთ, თუ (8x + 8) ან (8x + 2) იყოფა 8 -ზე (8x + 8) იყოფა 8 -ზე, ამიტომ ჩვენ ამ ტერმინს გავყოფთ a- ზე და სხვა ფაქტორებს დავტოვებთ.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

ტერმინი ფრჩხილებში არის ის, რაც დარჩა მას შემდეგ, რაც გავყოთ ტერმინზე a.

ნაბიჯი 5. მიიღეთ ერთი ან ორივე ტერმინის უდიდესი საერთო ფაქტორი (GCF), ასეთის არსებობის შემთხვევაში

ამ მაგალითში, მეორე ტერმინს აქვს GCF 2, რადგან 8x + 2 = 2 (4x + 1). შეუთავსეთ ეს შედეგი იმ ტერმინს, რომელიც მიიღეთ წინა საფეხურიდან. ეს არის თქვენი განტოლების ფაქტორები.

2 (x + 1) (4x + 1)

მეთოდი 4 დან 6: სხვაობა კვადრატული ფესვები

მრავალწევრებში ზოგიერთი კოეფიციენტი შეიძლება იყოს "კვადრატი", ან ორი რიცხვის პროდუქტი. ამ კვადრატების იდენტიფიცირება საშუალებას გაძლევთ უფრო სწრაფად მოახდინოთ მრავალი მრავალწევრის ფაქტორი. სცადეთ ეს განტოლება:

27x² - 12 = 0

ნაბიჯი 1. ამოიღეთ უდიდესი საერთო ფაქტორი, თუ ეს შესაძლებელია

ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია დავინახოთ, რომ 27 და 12 იყოფა 3 -ზე, ასე რომ ჩვენ ვიღებთ:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

ნაბიჯი 2. დაადგინეთ, არის თუ არა თქვენი განტოლების კოეფიციენტები კვადრატული რიცხვები

ამ მეთოდის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა შეგეძლოთ ორივე ტერმინის კვადრატული ფესვის აღება. (გაითვალისწინეთ, რომ ჩვენ უარვყოფთ უარყოფით ნიშანს - რადგან ეს რიცხვები კვადრატებია, ისინი შეიძლება იყოს ორი დადებითი ან უარყოფითი რიცხვის პროდუქტი)

9x² = 3x * 3x და 4 = 2 * 2

ნაბიჯი 3. მიღებული კვადრატული ფესვის გამოყენებით ჩაწერეთ ფაქტორები

ჩვენ ვიღებთ a და c- ს მნიშვნელობებს ჩვენი ზემოდან - a = 9 და c = 4, შემდეგ ვიპოვით კვადრატულ ფესვს - a = 3 და c = 2. შედეგი არის ფაქტორის განტოლების კოეფიციენტი:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

მეთოდი 5 დან 6: კვადრატული ფორმულა

თუ ყველაფერი ვერ მოხერხდა და განტოლება არ შეიძლება ჩაითვალოს მთლიანად, გამოიყენეთ კვადრატული ფორმულა. სცადეთ ეს მაგალითი:

x² + 4x + 1 = 0

ნაბიჯი 1. შეიყვანეთ საჭირო მნიშვნელობები კვადრატულ ფორმულაში:

x = -b ± (ბ² - 4ac)

2 ა

ჩვენ ვიღებთ განტოლებას:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

ნაბიჯი 2. იპოვეთ x- ის მნიშვნელობა

თქვენ მიიღებთ ორ მნიშვნელობას. როგორც ზემოთ იყო ნაჩვენები, ჩვენ ვიღებთ ორ პასუხს:

x = -2 + (3) ან x = -2 -(3)

ნაბიჯი 3. გამოიყენეთ თქვენი x- მნიშვნელობა ფაქტორების მოსაძებნად

შეაერთეთ x მნიშვნელობები, რომლებიც მიიღეთ ორ პოლინომიურ განტოლებაში, როგორც მუდმივები. შედეგი არის თქვენი ფაქტორები. თუ ჩვენს პასუხებს ვუწოდებთ h და k, ჩვენ ვწერთ ორ ფაქტორს შემდეგნაირად:

(x - h) (x - k)

ამ მაგალითში, ჩვენი საბოლოო პასუხია:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

მეთოდი 6 დან 6: კალკულატორის გამოყენება

თუ თქვენ გაქვთ უფლება გამოიყენოთ კალკულატორი, გრაფიკული კალკულატორი ფაქტორინგის პროცესს ბევრად აადვილებს, განსაკუთრებით სტანდარტიზებული ტესტებისთვის. ეს ინსტრუქციები განკუთვნილია TI გრაფიკული კალკულატორისთვის. ჩვენ გამოვიყენებთ განტოლების მაგალითს:

y = x² x 2

ნაბიჯი 1. შეიყვანეთ თქვენი განტოლება კალკულატორში

თქვენ გამოიყენებთ განტოლების ფაქტორინგს, რომელიც ეკრანზე წერია [Y =].

ნაბიჯი 2. გრაფიკის განტოლება კალკულატორის გამოყენებით

როდესაც თქვენ შეიყვანთ თქვენს განტოლებას, დააჭირეთ [GRAPH] - დაინახავთ გლუვ მრუდს, რომელიც წარმოადგენს თქვენს განტოლებას (ხოლო ფორმა არის მრუდი, რადგან ჩვენ ვიყენებთ მრავალწევრებს).

ნაბიჯი 3. იპოვეთ ადგილი, სადაც მრუდი კვეთს x ღერძს

ვინაიდან მრავალწევრიანი განტოლებები ჩვეულებრივ იწერება როგორც ცული² + bx + c = 0, ეს კვეთა არის x- ის მეორე მნიშვნელობა, რომელიც იწვევს განტოლების ნულს:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

თუ თქვენ არ შეგიძლიათ განსაზღვროთ, თუ სად კვეთს გრაფიკი x ღერძს მისი დაკვირვებით, დააჭირეთ [2] და შემდეგ [TRACE]. დააჭირეთ [2] ან აირჩიეთ ნული. კურსორი გადაიტანეთ კვეთაზე მარცხნივ და დააჭირეთ [ENTER]. კურსორი გადაიტანეთ კვეთაზე მარჯვნივ და დააჭირეთ [ENTER]. გადაიტანეთ კურსორი რაც შეიძლება ახლოს კვეთაზე და დააჭირეთ [ENTER]. კალკულატორი იპოვის x მნიშვნელობას. გააკეთეთ ეს სხვა კვეთაზეც

ნაბიჯი 4. შეაერთეთ წინა საფეხურიდან მიღებული x მნიშვნელობა ორ ფაქტორულ განტოლებაში

თუ ჩვენ დავასახელებთ ჩვენს ორივე x მნიშვნელობას h და k, განტოლებები ჩვენ გამოვიყენებთ იქნება:

(x - h) (x - k) = 0

ამრიგად, ჩვენი ორი ფაქტორი არის:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Რჩევები

• თუ თქვენ გაქვთ TI-84 კალკულატორი (გრაფიკი), არის პროგრამა SOLVER, რომელიც გადაჭრის თქვენს კვადრატულ განტოლებებს. ეს პროგრამა გადაჭრის ნებისმიერი ხარისხის მრავალწევრებს.
• თუ ტერმინი არ არის დაწერილი, კოეფიციენტი არის 0. სასარგებლოა განტოლების გადაწერა, თუ ეს ასეა, მაგალითად: x² + 6 = x² +0x+6.
• თუ თქვენ გაითვალისწინეთ თქვენი მრავალწევრი კვადრატული ფორმულის გამოყენებით და მიიღეთ პასუხი ფესვების თვალსაზრისით, შეიძლება დაგჭირდეთ x მნიშვნელობის გადატანა წილად გადამოწმებისთვის.
• თუ ტერმინს არ აქვს დაწერილი კოეფიციენტი, კოეფიციენტი არის 1, მაგალითად: x² = 1x².
• საკმარისი პრაქტიკის შემდეგ, თქვენ საბოლოოდ შეძლებთ თქვენს თავში პოლინომების ფაქტორს. სანამ ამის გაკეთებას შეძლებთ, დარწმუნდით, რომ ყოველთვის დაწერეთ როგორ-როგორ.