სამეული არის ალგებრული გამოთქმა, რომელიც შედგება სამი ტერმინისგან. დიდი ალბათობით, თქვენ დაიწყებთ სწავლას, თუ როგორ უნდა განისაზღვროს კვადრატული ტრინომი, რაც ნიშნავს ცულის სახით დაწერილ სამეულს2 + bx + c არსებობს რამდენიმე ხრიკი სასწავლად, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა სახის კვადრატული ტრინიუმებისათვის, მაგრამ პრაქტიკაში შეძლებთ მათი უკეთ და სწრაფად გამოყენებას. უმაღლესი რიგის მრავალწევრები, ტერმინებით, როგორიცაა x3 ან x4, ყოველთვის არ შეიძლება ერთნაირად მოგვარება, მაგრამ ხშირად შეგიძლიათ გამოიყენოთ მარტივი ფაქტორინგი ან ჩანაცვლება, რომ გადააქციოთ ის პრობლემად, რომლის მოგვარებაც შესაძლებელია ნებისმიერი სხვა კვადრატული ფორმულის მსგავსად.
ნაბიჯი
მეთოდი 1 – დან 3 – დან: ფაქტორინგი x2 + bx + c
ნაბიჯი 1. ისწავლეთ PLDT გამრავლება
თქვენ ალბათ ისწავლეთ PLDT- ის გამრავლება, ან "პირველი, გარეთ, ბოლოში" ისეთი გამონათქვამების გამრავლება, როგორიცაა (x+2) (x+4). სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ მუშაობს ეს გამრავლება, სანამ ფაქტორს გავითვალისწინებთ:
- გაამრავლეთ ტომები Პირველი: (x+2)(x+4) = x2 + _
-
გაამრავლეთ ტომები გარეთ: (x+2) (x+
ნაბიჯი 4.) = x2+ 4x + _
-
გაამრავლეთ ტომები ში: (x+
ნაბიჯი 2.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _
-
გაამრავლეთ ტომები ფინალური: (x+
ნაბიჯი 2.) (x
ნაბიჯი 4.) = x2+4x+2x
ნაბიჯი 8.
- გამარტივება: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
ნაბიჯი 2. გაიგეთ ფაქტორინგი
როდესაც ორ ბინომიუმს ამრავლებთ PLDT მეთოდის გამოყენებით, მიიღებთ ტრინიუმს (გამოთქმა სამი ტერმინით) სახით x2+ b x+ c, სადაც a, b და c ჩვეულებრივი რიცხვებია. თუ თქვენ იწყებთ განტოლებას, რომელსაც აქვს ერთი და იგივე ფორმა, შეგიძლიათ გადააკეთოთ იგი ორ ბინომიუმში.
- თუ განტოლებები არ არის დაწერილი ამ თანმიმდევრობით, გადააკეთეთ განტოლებები ისე, რომ მათ ჰქონდეთ ეს რიგი. მაგალითად, გადაწერეთ 3x - 10 + x2 ხდება x2 + 3x - 10.
- რადგან უმაღლესი ძალა არის 2 (x2ამ ტიპის გამოთქმას ეწოდება კვადრატული.
ნაბიჯი 3. დატოვეთ ცარიელი ადგილი პასუხისთვის PLDT გამრავლების სახით
ჯერჯერობით, უბრალოდ დაწერე (_ _)(_ _) სადაც თქვენ დაწერთ პასუხს. ჩვენ შეავსებთ მას მუშაობის დროს
არ დაწეროთ + ან - ცარიელ ტერმინებს შორის, რადგან ჯერ არ ვიცით სწორი ნიშანი
ნაბიჯი 4. შეავსეთ პირველი პირობები
მარტივი პრობლემებისთვის, თქვენი ტრინიუმის პირველი ტერმინი არის მხოლოდ x2, პირველი პოზიციის პირობები ყოველთვის არის x და x რა ეს არის ტერმინის x ფაქტორები2 რადგან x ჯერ x = x2.
- ჩვენი მაგალითი x2 + 3x - 10 x– ით დაწყებული2ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ:
- (x _) (x _)
- ჩვენ ვიმუშავებთ უფრო რთულ პრობლემებზე მომდევნო ნაწილში, მათ შორის ტრინიუმებზე, დაწყებული ტერმინებით 6x2 ან -x2რა ამასობაში მიჰყევით ამ კითხვების მაგალითებს.
ნაბიჯი 5. გამოიყენეთ ფაქტორინგი, რათა გამოიცნოთ ბოლო პირობები
თუ თქვენ დაბრუნდებით და წაიკითხავთ ნაბიჯებს, თუ როგორ უნდა გავამრავლოთ PLDT, დაინახავთ, რომ ბოლო ტერმინების გამრავლება გამოიმუშავებს ბოლო ტერმინს პოლინომიაში (ტერმინები, რომლებსაც არ აქვთ x). ასე რომ, ფაქტორის დასადგენად, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ორი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას წარმოქმნის ბოლო ტერმინს.
- ჩვენს მაგალითში x2 + 3x - 10, ბოლო ვადაა -10.
- რა ფაქტორებია -10? რომელი რიცხვი მრავლდება -10 -ზე?
- რამდენიმე შესაძლებლობა არსებობს: -1 ჯერ 10, 1 ჯერ -10, -2 ჯერ 5, ან 2 ჯერ -5. ჩაწერეთ ეს წყვილი სადმე, რომ დაიმახსოვროთ ისინი.
- ჯერ არ შეცვალოთ ჩვენი პასუხი. ჩვენი პასუხი მაინც ასე უნდა გამოიყურებოდეს: (x _) (x _).
ნაბიჯი 6. შეამოწმეთ შესაძლებლობები, რომლებიც ემთხვევა გარე და შიდა პროდუქტს
ჩვენ შევამცირეთ ბოლო პირობები რამდენიმე შესაძლებლობამდე. გამოიყენეთ საცდელი სისტემა ყველა შესაძლებლობის შესამოწმებლად, გამრავლეთ გარე და შიდა ტერმინები და შეადარეთ პროდუქტი ჩვენს სამეულს. Მაგალითად:
- ჩვენს თავდაპირველ პრობლემას ჰქონდა ტერმინი "x" 3x, ამიტომ ჩვენი ტესტის შედეგები უნდა ემთხვეოდეს ამ ტერმინს.
- ტესტები -1 და 10: (x -1) (x+10). გარეთ + შიგნით = 10x - x = 9x. არასწორია.
- ტესტები 1 და -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. ეს არასწორია. სინამდვილეში, თუ გამოცდით -1 და 10, აღმოაჩენთ, რომ 1 და -10 ზემოთ მოყვანილი პასუხის საპირისპიროა: -9x ნაცვლად 9x.
- ტესტები -2 და 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. შედეგი შეესაბამება საწყის პოლინომიას, ასე რომ აქ არის სწორი პასუხი: (x-2) (x+5).
- ასეთ მარტივ შემთხვევებში, თუ თქვენ არ გაქვთ მუდმივი x ტერმინის წინ2, შეგიძლიათ გამოიყენოთ სწრაფი გზა: უბრალოდ შეაჯამეთ ორი ფაქტორი და მის უკან დაადეთ "x" (-2+5 → 3x). თუმცა, ეს მეთოდი არ მუშაობს უფრო რთულ პრობლემებზე, ამიტომ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ზემოთ აღწერილი "გრძელი გზა".
მეთოდი 2 დან 3: ფაქტორინგი უფრო რთული ტრინიომის
ნაბიჯი 1. გამოიყენეთ მარტივი ფაქტორინგი უფრო რთული პრობლემების გასამარტივებლად
მაგალითად, თქვენ უნდა გაითვალისწინოთ 3x2 + 9x - 30 რა იპოვეთ რიცხვი, რომელსაც შეუძლია სამივე ტერმინის ფაქტორი ("უდიდესი საერთო ფაქტორი" ან GCF). ამ შემთხვევაში, GCF არის 3:
- 3x2 = (3) (x2)
- 9x = (3) (3x)
- -30 = (3)(-10)
- ამრიგად, 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ ახალი ტრინომი ზემოთ მოცემულ ნაწილში მოცემული ნაბიჯების გამოყენებით. ჩვენი საბოლოო პასუხი იქნება (3) (x-2) (x+5).
ნაბიჯი 2. მოძებნეთ უფრო რთული ფაქტორები
ზოგჯერ, ფაქტორინგი შეიძლება შეიცავდეს ცვლადს, ან შეიძლება დაგჭირდეთ რამდენჯერმე ფაქტორი, რათა იპოვოთ უმარტივესი შესაძლო გამოხატულება. Აი ზოგიერთი მაგალითი:
- 2x2y + 14xy + 24y = (2 წელი)(x2 + 7x + 12)
- x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 +11x - 26)
- -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
- არ დაგავიწყდეთ ახალი სამეულის რეფაქტორი, მეთოდის 1. ნაბიჯების გამოყენებით, შეამოწმეთ თქვენი ნამუშევარი და მოძებნეთ მსგავსი პრობლემების მაგალითები კითხვების ნიმუშში ამ გვერდის ბოლოში.
ნაბიჯი 3. x– ის წინ რიცხვით ამოცანების ამოხსნა2.
ზოგიერთი კვადრატული სამეული არ შეიძლება შემცირდეს უადვილესი ტიპის პრობლემამდე. ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ პრობლემები, როგორიცაა 3x2 + 10x + 8, შემდეგ ივარჯიშეთ დამოუკიდებლად, ამ გვერდის ბოლოში მოცემული კითხვების ნიმუშებით:
- დააყენეთ ჩვენი პასუხი ასე: (_ _)(_ _)
- ჩვენს "პირველ" ტერმინებს ექნება ერთი x და მათი გამრავლება იძლევა 3x2რა არსებობს მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა: (3x _) (x _).
- ჩამოთვალეთ 8. ფაქტორები. შანსები არის 1 -ჯერ 8 ან 2 -ჯერ 4.
- შეამოწმეთ ეს შესაძლებლობა გარე და შიდა ტერმინების გამოყენებით. გაითვალისწინეთ, რომ ფაქტორების თანმიმდევრობა ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან გარე ტერმინი x -ის ნაცვლად მრავლდება 3x -ზე. სცადეთ ყველა შესაძლებლობა სანამ არ გამოხვალთ+In = 10x (საწყისი პრობლემიდან):
- (3x+1) (x+8) 24x+x = 25x არა
- (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x არა
- (3x+2) (x+4) 12x+2x = 14x არა
- (3x+4) (x+2) 6x+4x = 10x დიახ რა ეს არის სწორი ფაქტორი.
ნაბიჯი 4. გამოიყენეთ შემცვლელი უმაღლესი რიგის ტრინომი
მათემატიკის წიგნმა შეიძლება გაგაოცოთ განტოლებებით მაღალი სიმძლავრით, როგორიცაა x4, თუნდაც მას შემდეგ, რაც თქვენ გამოიყენებთ მარტივ ფაქტორინგს, რათა გაადვილოთ პრობლემა. სცადეთ შეცვალოთ ახალი ცვლადი, რომელიც გადააქცევს მას პრობლემად, რომლის გადაწყვეტაც თქვენ იცით. Მაგალითად:
- x5+13x3+36x
- = (x) (x4+13x2+36)
- მოდით შევქმნათ ახალი ცვლადი. ვთქვათ y = x2 და ჩადეთ მასში:
- (x) (y2+13y+36)
- = (x) (y+9) (y+4). ახლა გადააბრუნეთ იგი საწყის ცვლადზე:
- = (x) (x2+9) (x2+4)
- = (x) (x ± 3) (x ± 2)
მეთოდი 3 -დან 3 -დან: სპეციალური შემთხვევების ფაქტორინგი
ნაბიჯი 1. იპოვეთ მარტივი რიცხვები
დააკვირდით, არის თუ არა მუდმივი ტრინიუმის პირველ ან მესამე ტერმინალში მარტივი რიცხვი. პირველადი რიცხვი იყოფა მხოლოდ თავისთავად და 1 -ზე, ასე რომ არსებობს მხოლოდ ერთი შესაძლო წყვილი ბინომინალური ფაქტორი.
- მაგალითად, x- ში2 + 6x + 5, 5 არის მარტივი რიცხვი, ამიტომ ბინომიუმი უნდა იყოს ფორმის (_ 5) (_ 1).
- 3x პრობლემაში2+10x+8, 3 არის მარტივი რიცხვი, ამიტომ ბინომიუმი უნდა იყოს ფორმის (3x _) (x _).
- 3x კითხვებისთვის2+4x+1, ორივე 3 და 1 არის მარტივი რიცხვები, ამიტომ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალი არის (3x+1) (x+1). (თქვენ კვლავ უნდა გაამრავლოთ ეს რიცხვი თქვენი პასუხის შესამოწმებლად, რადგან ზოგიერთი გამონათქვამი საერთოდ არ შეიძლება იყოს ფაქტორირებული - მაგალითად, 3x2+100x+1 არ აქვს ფაქტორი.)
ნაბიჯი 2. გაარკვიეთ არის თუ არა სამეული სრულყოფილი კვადრატი
სრულყოფილი კვადრატული სამეული შეიძლება ჩაითვალოს ორ იდენტურ ბინომიუმში, ხოლო ფაქტორი ჩვეულებრივ იწერება როგორც (x+1)2 და არა (x+1) (x+1). აქ არის რამოდენიმე მაგალითი, რომლებიც ხშირად ჩნდება კითხვებში:
- x2+2x+1 = (x+1)2და x2-2x+1 = (x-1)2
- x2+4x+4 = (x+2)2და x2-4x+4 = (x-2)2
- x2+6x+9 = (x+3)2და x2-6x+9 = (x-3)2
- სრულყოფილი კვადრატული სამეული x სახით2 + bx + c ყოველთვის აქვს ტერმინები a და c, რომლებიც დადებითი სრულყოფილი კვადრატებია (როგორიცაა 1, 4, 9, 16, ან 25) და ერთი ტერმინი b (დადებითი ან უარყოფითი), რომელიც უდრის 2 -ს (√a * √c) რა
ნაბიჯი 3. გაარკვიეთ, აქვს თუ არა პრობლემას გამოსავალი
ყველა ტრინიომის განხილვა შეუძლებელია. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ კვადრატული სამწევრის ფაქტორი (ცული2+bx+გ), გამოიყენეთ კვადრატული ფორმულა პასუხის მოსაძებნად. თუ ერთადერთი პასუხი არის უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი, არ არსებობს რეალური რიცხვითი გადაწყვეტა, მაშინ პრობლემას არ აქვს ფაქტორები.
არა კვადრატული ტრინიუმებისთვის გამოიყენეთ ეიზენშტეინის კრიტერიუმი, რომელიც აღწერილია რჩევების განყოფილებაში
პასუხები და კითხვების ნიმუში
-
პასუხები "რთულ ფაქტორინგის" კითხვებზე.
ეს არის კითხვები "უფრო რთული ფაქტორების" საფეხურიდან. ჩვენ გავამარტივეთ პრობლემები უფრო მარტივებად, ამიტომ შეეცადეთ გადაჭრათ ისინი 1 -ლი ნაბიჯების გამოყენებით, შემდეგ შეამოწმეთ თქვენი სამუშაო აქ:
- (2 წელი) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
-
სცადეთ ფაქტორინგის უფრო რთული პრობლემები.
ამ პრობლემებს აქვს ერთი და იგივე ფაქტორი თითოეულ ტერმინში, რომელიც პირველ რიგში უნდა იქნას გათვალისწინებული. დაბლოკეთ ბლანკები ტოლობის ნიშნის შემდეგ, რომ ნახოთ პასუხები, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი სამუშაო:
- 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) დაბლოკეთ ცარიელი პასუხის სანახავად
- -5x3y2+30x2y2-25 წელი2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
-
ივარჯიშეთ კითხვების გამოყენებით რა ეს პრობლემები არ შეიძლება ჩაითვალოს უფრო მარტივ განტოლებებში, ასე რომ თქვენ უნდა იპოვოთ პასუხი ფორმაში (_x + _) (_ x + _) ცდისა და შეცდომის გამოყენებით:
- 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) ბლოკი პასუხის სანახავად
- 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (მინიშნება: შეიძლება დაგჭირდეთ სცადოთ ერთზე მეტი ფაქტორი წყვილი 9 -ჯერ.)
Რჩევები
- თუ თქვენ ვერ ხვდებით როგორ უნდა მოახდინოთ კვადრატული სამწევრის ფაქტორი (ცული2+bx+გ), შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატული ფორმულა x– ის მოსაძებნად.
-
მიუხედავად იმისა, რომ თქვენ არ გჭირდებათ იცოდეთ როგორ გააკეთოთ ეს, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეიზენშტეინის კრიტერიუმები, რათა სწრაფად განსაზღვროთ თუ არა პოლინომიის გამარტივება და ფაქტორი. ეს კრიტერიუმი ვრცელდება ნებისმიერ პოლინომიაზე, მაგრამ საუკეთესოდ გამოიყენება ტრინიომალებისთვის. თუ არსებობს პირველი რიცხვი p, რომელიც ბოლო ორ ტერმინს თანაბრად ყოფს და აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს, მაშინ პოლინომი არ შეიძლება გამარტივდეს:
- მუდმივი ტერმინები (ცვლადების გარეშე) არის p- ის ჯერადი, მაგრამ არა p- ის ჯერადი2.
- პრეფიქსი (მაგალითად, a in ax2+bx+გ) არ არის p- ის ჯერადი.
- მაგალითად, 14x2 +45x +51 არ შეიძლება გამარტივდეს, რადგან არსებობს მარტივი რიცხვი (3), რომელიც შეიძლება იყოფა როგორც 45 -ზე, ასევე 51 -ზე, მაგრამ არ იყოფა 14 -ზე, ხოლო 51 არ იყოფა 3 -ზე2.
გაფრთხილება
მიუხედავად იმისა, რომ ეს მართალია კვადრატული ტრინიუმებისათვის, ტრინომი, რომლის ფაქტორიც შეიძლება იყოს, სულაც არ არის ორი ბინომიუმის პროდუქტი. მაგალითად, x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).
