ალგებრული განტოლებების ფაქტორირების 3 გზა

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-15 08:18

მათემატიკაში, ფაქტორინგი არის რიცხვების ან გამონათქვამების პოვნა, რომლებიც გამრავლებისას გამოიღებს მოცემულ რიცხვს ან განტოლებას. ფაქტორინგი არის სასარგებლო უნარი, ვისწავლოთ მარტივი ალგებრული პრობლემების გადაჭრა; კარგად ფაქტორის უნარი, მნიშვნელოვანი ხდება კვადრატულ განტოლებებთან და პოლინომის სხვა ფორმებთან ურთიერთობისას. ფაქტორინგი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ალგებრული გამონათქვამების გასამარტივებლად, მათი გადაწყვეტილებების გასაადვილებლად. ფაქტორინგი კი მოგცემთ შესაძლებლობას აღმოფხვრას გარკვეული შესაძლო პასუხები, ბევრად უფრო სწრაფად, ვიდრე მათი ხელით გადაწყვეტა.

ნაბიჯი

მეთოდი 1 -დან 3: რიცხვების ფაქტორინგი და მარტივი ალგებრული გამონათქვამები

ნაბიჯი 1. გაიგეთ ფაქტორინგის განმარტება, როდესაც გამოიყენება ერთ რიცხვებზე

ფაქტორინგი არის მარტივი კონცეფცია, მაგრამ პრაქტიკაში ის შეიძლება რთული იყოს რთულ განტოლებებთან მიმართებაში. ამრიგად, უადვილესი ფაქტორინგის კონცეფციას მივუდგეთ მარტივი რიცხვებით დაწყებით, შემდეგ მარტივი განტოლებებით, სანამ საბოლოოდ გადავიდეთ უფრო რთულ პროგრამებზე. რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას წარმოქმნიან რიცხვს. მაგალითად, 12 – ის ფაქტორები არის 1, 12, 2, 6, 3 და 4, რადგან 1 × 12, 2 × 6 და 3 × 4 უდრის 12 – ს.

• ამის დაფიქრების კიდევ ერთი გზა არის ის, რომ რიცხვის ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც თანაბრად შეიძლება დაიყოს რიცხვში.

• შეგიძლიათ იპოვოთ რიცხვის 60 ფაქტორი? ჩვენ ვიყენებთ რიცხვს 60 სხვადასხვა მიზნებისთვის (წუთი საათში, წამი წუთში და ა.

  60 -ის ფაქტორებია 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 და 60

ნაბიჯი 2. გაიაზრეთ, რომ ცვლადი გამონათქვამების ფაქტორირებაც შეიძლება

ისევე, როგორც რიცხვები შეიძლება იყოს ფაქტორი, რიცხვითი კოეფიციენტების ცვლადებიც შეიძლება იყოს ფაქტორი. ამისათვის უბრალოდ იპოვნეთ ცვლადი კოეფიციენტების ფაქტორები. იმის ცოდნა, თუ როგორ უნდა მოხდეს ფაქტორის ცვლადი, ძალიან სასარგებლოა ამ ცვლადის ალგებრული განტოლების გასამარტივებლად.

• მაგალითად, ცვლადი 12x შეიძლება დაიწეროს როგორც 12 და x ფაქტორების პროდუქტი. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ 12x როგორც 3 (4x), 2 (6x) და სხვა

  ჩვენ შეგვიძლია 12 ჯერ ფაქტორიც განვასხვავოთ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ არ გვჭირდება გაჩერება 3 (4x) ან 2 (6x) - ჩვენ შეგვიძლია ფაქტორი 4x და 6x მივიღოთ 3 (2 (2x) და 2 (3 (2x). რა თქმა უნდა, ეს ორი გამონათქვამი ექვივალენტია

ნაბიჯი 3. გამრავლების განაწილების თვისების გამოყენება ფაქტორული ალგებრული განტოლებებისთვის

თქვენი ცოდნის გამოყენებით, თუ როგორ განვსაზღვროთ ერთჯერადი რიცხვები და ცვლადები კოეფიციენტებით, შეგიძლიათ გაამარტივოთ მარტივი ალგებრული განტოლებები იმ ფაქტორების პოვნით, რომლებსაც რიცხვები და ცვლადები იზიარებენ ალგებრულ განტოლებებში. ჩვეულებრივ, განტოლების გასამარტივებლად, ჩვენ ვცდილობთ ვიპოვოთ უდიდესი საერთო ფაქტორი. ეს გამარტივების პროცესი შესაძლებელია გამრავლების განაწილების თვისების გამო, რომელიც ვრცელდება ნებისმიერ რიცხვზე a, b და c. a (b + c) = ab + ac.

• მოდი ვცადოთ კითხვის მაგალითი. ალგებრული განტოლების ფაქტორიზაციისთვის 12x + 6, ჯერ შევეცადოთ ვიპოვოთ ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორი 12x და 6. 6 არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელსაც შეუძლია თანაბრად გაყოს 12x და 6, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია განვმარტოთ განტოლება 6 -მდე (2x + 1) რა
• ეს პროცესი ასევე ეხება განტოლებებს უარყოფითი რიცხვებითა და წილადებით. მაგალითად, x/2 + 4, შეიძლება გამარტივდეს 1/2 (x + 8) და -7x + -21 შეიძლება ფაქტორით –7 (x + 3).

3 მეთოდი 2: კვადრატული განტოლებების ფაქტორინგი

ნაბიჯი 1. დარწმუნდით, რომ განტოლება არის კვადრატული ფორმით (ცული² + bx + c = 0).

კვადრატულ განტოლებებს აქვთ ფორმა ცული² + bx + c = 0, სადაც a, b და c არის რიცხვითი მუდმივები და არ არის 0 -ის ტოლი (გაითვალისწინეთ, რომ a ტოლია 1 ან -1). თუ თქვენ გაქვთ განტოლება, რომელსაც აქვს ერთი ცვლადი (x), რომელსაც აქვს ერთი ტერმინი x ორი ან მეტი სიმძლავრის, თქვენ ჩვეულებრივ გადააქვთ ეს ტერმინები განტოლებაში მარტივი ალგებრული ოპერაციების გამოყენებით, რომ მიიღოთ 0 ტოლობის ტოლობის ნიშნისა და ცულის ორივე მხარეს²და ა.შ. მეორეს მხრივ.

• მაგალითად, მოვიფიქროთ ალგებრული განტოლება. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 შეიძლება გამარტივდეს x– მდე² + 6x + 9 = 0, რაც არის კვადრატული ფორმა.
• X- ის უფრო დიდი სიმძლავრის განტოლებები, როგორიცაა x³, x⁴და ა.შ. არ არის კვადრატული განტოლებები. ეს განტოლებები არის კუბური განტოლებები, მეოთხე სიმძლავრის და ასე შემდეგ, თუ განტოლება არ შეიძლება გამარტივდეს ამ x ტერმინების ამოღებაზე 2 -ზე მეტი სიმძლავრით.

ნაბიჯი 2. კვადრატულ განტოლებაში, სადაც a = 1, ფაქტორი (x+d) (x+e), სადაც d × e = c და d+e = b

თუ თქვენი კვადრატული განტოლება არის x ფორმაში² + bx + c = 0 (სხვა სიტყვებით, თუ ტერმინის კოეფიციენტი x² = 1), შესაძლებელია (მაგრამ გარანტირებული არ არის), რომ საკმაოდ მარტივი სტენოგრამის მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას განტოლების გასაზომად. იპოვეთ ორი რიცხვი, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა c და დაემატა წარმოებას ბ. მას შემდეგ რაც თქვენ მოძებნით ამ ორ რიცხვს d და e, ჩაწერეთ ისინი შემდეგ გამოთქმაში: (x+d) (x+e) რა ეს ორი ტერმინი, გამრავლებული, გაძლევთ კვადრატულ განტოლებას - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი თქვენი კვადრატული განტოლების ფაქტორებია.

• მაგალითად, მოდით ვიფიქროთ x კვადრატულ განტოლებაზე² + 5x + 6 = 0. 3 და 2 მრავლდება 6 – ის მისაღებად და ასევე ემატება 5 – ს, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გავამარტივოთ ეს განტოლება (x + 3) –ზე (x + 2).

• ამ ძირითადი სტენოგრამის უმნიშვნელო განსხვავება მდგომარეობს მსგავსებების განსხვავებებში:

  • თუ კვადრატული განტოლება არის x ფორმაში²-bx+c, თქვენი პასუხი არის ამ ფორმით: (x - _) (x - _).
  • თუ განტოლება არის x ფორმაში²+ bx + c, თქვენი პასუხი ასე გამოიყურება: (x + _) (x + _).
  • თუ განტოლება არის x ფორმაში²-bx -c, თქვენი პასუხი არის ფორმაში (x + _) (x -_).
• შენიშვნა: ცარიელი რიცხვები შეიძლება იყოს წილადები ან ათწილადები. მაგალითად, განტოლება x² + (21/2) x + 5 = 0 არის ფაქტორი (x + 10) (x + 1/2).

ნაბიჯი 3. თუ შესაძლებელია, შეამოწმეთ ფაქტორები

გინდ დაიჯერეთ თუ არა, გაურთულებელი კვადრატული განტოლებებისთვის, ფაქტორინგის ერთ -ერთი დასაშვები მეთოდია პრობლემის შესწავლა, შემდეგ კი შესაძლო პასუხების განხილვა, სანამ სწორ პასუხს არ იპოვით. ეს მეთოდი ასევე ცნობილია როგორც ფაქტორინგი შემოწმების გზით. თუ განტოლება არის ფორმა ცული²+bx +c და a> 1, თქვენი ფაქტორული პასუხი არის ფორმაში (dx +/- _) (ყოფილი +/- _), სადაც d და e არის არასრული რიცხვების მუდმივები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა a. არც d და არც e (ან ორივე) არ შეიძლება იყოს 1, თუმცა ეს არ უნდა იყოს. თუ ორივე არის 1, თქვენ ძირითადად იყენებთ ზემოთ აღწერილი სტენოგრამის მეთოდს.

მოდი ვიფიქროთ პრობლემის მაგალითზე. 3x² - 8x + 4 თავიდან რთულად გამოიყურება. თუმცა, მას შემდეგ რაც მივხვდებით, რომ 3-ს აქვს მხოლოდ ორი ფაქტორი (3 და 1), ეს განტოლება უფრო ადვილი ხდება, რადგან ვიცით, რომ ჩვენი პასუხი უნდა იყოს ფორმის (3x +/- _) (x +/- _). ამ შემთხვევაში, ორივე ბლანკს -2 დამატება აძლევს სწორ პასუხს. -2 × 3x = -6x და -2 × x = -2x. -6x და -2x ჯამში -8x. -2 × -2 = 4, ასე რომ, ჩვენ ვხედავთ, რომ ფრჩხილებში მოცემული ტერმინები გამრავლებისას წარმოქმნის თავდაპირველ განტოლებას.

ნაბიჯი 4. ამოხსნა კვადრატის დასრულებით

ზოგიერთ შემთხვევაში, კვადრატული განტოლებები შეიძლება სწრაფად და მარტივად იქნას გათვალისწინებული სპეციალური ალგებრული იდენტობების გამოყენებით. ნებისმიერი კვადრატული განტოლება x სახით² + 2xh + სთ² = (x + სთ)²რა ასე რომ, თუ თქვენს განტოლებაში თქვენი b მნიშვნელობა ორჯერ აღემატება თქვენი მნიშვნელობის კვადრატულ ფესვს, თქვენი განტოლება შეიძლება იყოს ფაქტორირებული (x + (ფესვი (გ)))².

მაგალითად, განტოლება x² +6x+9 აქვს ეს ფორმა. 3² არის 9 და 3 × 2 არის 6. ასე რომ, ჩვენ ვიცით, რომ ამ განტოლების ფაქტორული ფორმაა (x + 3) (x + 3), ან (x + 3)².

ნაბიჯი 5. გამოიყენეთ ფაქტორები კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად

მიუხედავად იმისა, თუ როგორ მოახდინეთ თქვენი კვადრატული განტოლების ფაქტორი, მას შემდეგ რაც განტოლება იქნება ფაქტორი, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ შესაძლო პასუხები x მნიშვნელობაზე, თითოეული ფაქტორი ნულის ტოლი გახადებით და მათი ამოხსნით. ვინაიდან თქვენ ეძებთ x მნიშვნელობას, რომელიც თქვენს განტოლებას უტოლდება ნულს, x მნიშვნელობა, რომელიც ნებისმიერ ფაქტორს უტოლდება ნულს, არის სავარაუდო პასუხი თქვენს კვადრატულ განტოლებაზე.

დავუბრუნდეთ x განტოლებას² + 5x + 6 = 0. ეს განტოლება არის ფაქტორირებული (x + 3) (x + 2) = 0. თუ რომელიმე ფაქტორი უდრის 0-ს, ყველა განტოლება უდრის 0-ს, ამიტომ ჩვენი შესაძლო პასუხები x არის რიცხვები- რიცხვი, რომელიც ქმნის (x + 3) და (x + 2) ტოლია 0. ეს რიცხვებია -3 და -2, შესაბამისად.

ნაბიჯი 6. შეამოწმეთ თქვენი პასუხები - ზოგიერთი პასუხი შეიძლება მცდარი იყოს

როდესაც იპოვით x– ის შესაძლო პასუხებს, შეაერთეთ ისინი თქვენს თავდაპირველ განტოლებაში, რომ ნახოთ სწორია თუ არა პასუხი. ზოგჯერ, თქვენს მიერ ნაპოვნი პასუხები არ ხდის თავდაპირველ განტოლებას ნულის ტოლფასი ხელახლა შესვლისას. ჩვენ ვუწოდებთ ამ პასუხს გადახრავს და იგნორირებას უკეთებს მას.

• მოდით ჩავყაროთ -2 და -3 x- ში² + 5x + 6 = 0. პირველი, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. ეს პასუხი არის სწორი, ასე რომ -2 არის სწორი პასუხი.

• მოდით, ვცადოთ -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. ეს პასუხიც სწორია, ასე რომ -3 არის სწორი პასუხი.

მეთოდი 3 დან 3: სხვა განტოლებების ფაქტორინგი

ნაბიჯი 1. თუ განტოლება გამოხატულია ფორმით a²-ბ², ფაქტორი (a+b) (a-b).

ორი ცვლადის განტოლებებს აქვთ განსხვავებული ფაქტორები, ვიდრე ძირითადი კვადრატული განტოლება. განტოლებისთვის ა²-ბ² არაფერი, სადაც a და b არ არის 0-ის ტოლი, განტოლების ფაქტორები არის (a+b) (a-b).

მაგალითად, განტოლება 9x² - 4 წელი² = (3x + 2y) (3x - 2y).

ნაბიჯი 2. თუ განტოლება გამოხატულია ფორმით a²+2ab+b², ფაქტორი (a+b)².

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ტრინიომი არის a ფორმის²-2ab+b², ფორმის ფაქტორები ოდნავ განსხვავებულია: (a-b)².

4x განტოლება² + 8xy + 4y² შეიძლება გადაწერილი იყოს 4 ჯერ² + (2 × 2 × 2) xy + 4y²რა ახლა ჩვენ ვხედავთ, რომ ფორმა სწორია, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია დარწმუნებული ვიყოთ, რომ ჩვენი განტოლების ფაქტორები არის (2x + 2y)²

ნაბიჯი 3. თუ განტოლება გამოხატულია ფორმით a³-ბ³, ფაქტორი (a-b) (a²+აბ+ბ²).

დაბოლოს, უკვე აღინიშნა, რომ კუბური განტოლებები და კიდევ უფრო მაღალი სიმძლავრეები შეიძლება განისაზღვროს, თუმცა ფაქტორინგის პროცესი სწრაფად ძალიან რთულდება.

მაგალითად, 8x³ - 27 წელი³ ფაქტორი (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Რჩევები

• ა²-ბ² შეიძლება იყოს ფაქტორი, ა²+ბ² ფაქტორი არ შეიძლება
• დაიმახსოვრე, როგორ უნდა განისაზღვროს მუდმივი. ეს შეიძლება დაეხმაროს.
• ფრთხილად იყავით წილადებთან ფაქტორინგის პროცესში და იმუშავეთ წილადებთან სწორად და ფრთხილად.
• თუ თქვენ გაქვთ x ფორმის ტრინომი²+ bx+ (b/2)², ფორმულა არის (x+(b/2))²რა (თქვენ შეიძლება შეხვდეთ ამ სიტუაციას კვადრატის დასრულებისას.)
• გახსოვდეთ, რომ a0 = 0 (ნულის პროდუქტის თვისება).