ალგებრული გამონათქვამების გამარტივების 3 გზა

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-15 08:18

ალგებრული გამონათქვამების გამარტივების სწავლა არის ძირითადი ალგებრის დაუფლების ერთ -ერთი გასაღები და ყველაზე სასარგებლო ინსტრუმენტი, რომელიც უნდა ჰქონდეს ნებისმიერ მათემატიკოსს. გამარტივება მათემატიკოსებს საშუალებას აძლევს გადააქციონ რთული, გრძელი და/ან უცნაური გამონათქვამები უფრო მარტივ ან იოლი ეკვივალენტურ გამონათქვამებად. ძირითადი გამარტივებული უნარების სწავლა ძალიან ადვილია - თუნდაც მათთვის, ვისაც მათემატიკა სძულს. რამდენიმე მარტივი ნაბიჯის გადადგმით, შესაძლებელია გაამარტივოს ალგებრული გამონათქვამების ყველაზე ხშირად გამოყენებული ტიპები, მათემატიკის სპეციალური ცოდნის გამოყენების გარეშე. გადახედეთ ნაბიჯ 1 – ს დასაწყებად!

ნაბიჯი

მნიშვნელოვანი ცნებების გაგება

ნაბიჯი 1. დააჯგუფეთ ტერმინები მათი ცვლადებისა და შესაძლებლობების მიხედვით

ალგებრაში, ტერმინებს აქვთ იგივე ცვლადი კონფიგურაცია, იგივე სიმძლავრით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომ ორი ტერმინი თანაბარი იყოს, მათ უნდა ჰქონდეთ ერთი და იგივე ცვლადი, ან საერთოდ არ ჰქონდეთ ცვლადი და თითოეულ ცვლადს აქვს იგივე სიმძლავრე, ან ექსპონენტი. ცვლადების თანმიმდევრობა თვალსაზრისით არ არის მნიშვნელოვანი.

მაგალითად, 3x² და 4x² ტერმინებს ჰგავს, რადგან ორივეს აქვს ცვლადი x კვადრატის სიმძლავრით. თუმცა, x და x² არ ჰგავს ტერმინებს, რადგან თითოეულ ტერმინს აქვს ცვლადი x განსხვავებული სიმძლავრით. თითქმის იგივე, -3yx და 5xz არ ჰგავს ტერმინებს, რადგან თითოეულ ტერმინს განსხვავებული ცვლადი აქვს.

ნაბიჯი 2. ფაქტორი ჩაწერეთ რიცხვი, როგორც ორი ფაქტორის პროდუქტი

ფაქტორინგი არის მოცემული რიცხვის ჩაწერის კონცეფცია, როგორც ორი ფაქტორის გამრავლებული პროდუქტი. რიცხვებს შეიძლება ჰქონდეთ ერთზე მეტი ფაქტორი - მაგალითად, 12 შეიძლება მივიღოთ 1 × 12, 2 × 6 და 3 × 4, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ 1, 2, 3, 4, 6 და 12 არის ფაქტორები 12 – ის წარმოდგენის კიდევ ერთი გზა ის არის, რომ რიცხვის ფაქტორებია რიცხვები, რომლებიც მთელ რიცხვს ყოფს.

• მაგალითად, თუ გვსურს ფაქტორი 20, შეგვიძლია დავწეროთ როგორც 4 × 5.
• გაითვალისწინეთ, რომ ცვლადი ტერმინების ფაქტორიც შეიძლება. -20x, მაგალითად, შეიძლება დაიწეროს როგორც 4 (5x).
• პირველადი რიცხვები არ შეიძლება იყოს ფაქტორი, რადგან ისინი შეიძლება დაიყოს მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1.

ნაბიჯი 3. გამოიყენეთ შემოკლებული KaPaK BoTaK ოპერაციების თანმიმდევრობის დასამახსოვრებლად

ზოგჯერ, გამოთქმის გამარტივება უბრალოდ აგვარებს ოპერაციას განტოლებაში, სანამ ის აღარ გამოდგება. ამ შემთხვევებში ძალიან მნიშვნელოვანია ოპერაციების თანმიმდევრობის დამახსოვრება ისე, რომ არ მოხდეს არითმეტიკული შეცდომები. აკრონიმი KaPaK BoTaK დაგეხმარებათ დაიმახსოვროთ ოპერაციების თანმიმდევრობა - ასოები მიუთითებს ოპერაციების ტიპებზე, რომლებიც უნდა შეასრულოთ, თანმიმდევრობით:

• კ მარცხი
• პ ლიფტი
• კ ალი
• ბ ისევ
• თ დამატება
• კ კრევეტები

მეთოდი 1-დან 3-დან: შეაერთეთ მსგავსი პირობები

ნაბიჯი 1. ჩაწერეთ თქვენი განტოლება

უმარტივესი ალგებრული განტოლებები, რომელიც მოიცავს მხოლოდ რამდენიმე ცვლად ტერმინს მთელი კოეფიციენტებით და არა წილადით, ფესვებით და ა.შ., ხშირად შეიძლება გადაწყდეს მხოლოდ რამდენიმე საფეხურით. უმეტეს მათემატიკურ პრობლემებთან დაკავშირებით, პირველი ნაბიჯი თქვენი განტოლების გასამარტივებლად არის მისი ჩაწერა!

როგორც პრობლემის მაგალითი, მომდევნო რამდენიმე ნაბიჯისათვის ჩვენ ვიყენებთ გამოთქმას 1 + 2x - 3 + 4x.

ნაბიჯი 2. მსგავსი ტომების იდენტიფიცირება

შემდეგი, მოძებნეთ მსგავსი ტერმინები თქვენს განტოლებაში. გახსოვდეთ, რომ მსგავს ტერმინებს აქვთ ერთი და იგივე ცვლადი და გამომხატველი.

მაგალითად, მოდით განვსაზღვროთ მსგავსი ტერმინები ჩვენს განტოლებაში 1 + 2x - 3 + 4x. 2x და 4x ორივეს აქვს ერთი და იგივე ცვლადი ერთნაირი სიმძლავრით (ამ შემთხვევაში x- ს არ აქვს ექსპონენტი). ასევე, 1 და -3 ტერმინებს ჰგავს, რადგან მათ არ აქვთ ცვლადი. ასე რომ, ჩვენს განტოლებაში, 2x და 4x და 1 და -3 მსგავსი ტომებია.

ნაბიჯი 3. შეუთავსეთ მსგავსი ტერმინები

ახლა, როდესაც თქვენ განსაზღვრეთ მსგავსი ტერმინები, შეგიძლიათ დააკავშიროთ ისინი თქვენი განტოლების გასამარტივებლად. დაამატეთ ტერმინები (ან გამოაკელით უარყოფითი ტერმინების შემთხვევაში), რათა შეამციროთ ტერმინების ნაკრები ერთი და იგივე ცვლადითა და გამრავლებული ერთ თანაბარ ვადაზე.

• მოდით დავამატოთ მსგავსი ტერმინები ჩვენს მაგალითში.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

ნაბიჯი 4. შექმენით უფრო მარტივი განტოლება გამარტივებული ტერმინებიდან

მას შემდეგ რაც აერთიანებთ თქვენს მსგავს ტერმინებს, შექმენით განტოლება ტერმინების ახალი, უფრო მცირე ნაკრებიდან. თქვენ მიიღებთ უფრო მარტივ განტოლებას, რომელსაც აქვს ერთი ტერმინი ცვლადების და სიმძლავრის სხვადასხვა სიმრავლისათვის თავდაპირველ განტოლებაში. ეს ახალი განტოლება უტოლდება თავდაპირველ განტოლებას.

ჩვენს მაგალითში, ჩვენი გამარტივებული ტერმინებია 6x და -2, ასე რომ ჩვენი ახალი განტოლება არის 6x - 2 რა ეს მარტივი განტოლება უდრის ორიგინალს (1 + 2x - 3 + 4x), მაგრამ უფრო მოკლე და ადვილია მასთან მუშაობა. ასევე ადვილია ფაქტორი, რასაც ჩვენ ქვემოთ განვიხილავთ, რაც კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი გამარტივების უნარია.

ნაბიჯი 5. დაიცავით ოპერაციების თანმიმდევრობა მსგავსი პირობების გაერთიანებისას

ძალიან მარტივ განტოლებებში, როგორიც ჩვენ ვიმუშავეთ ზემოთ მოყვანილ პრობლემაზე, მსგავსი ტერმინების ამოცნობა ადვილია. თუმცა, უფრო რთულ განტოლებებში, როგორიცაა გამონათქვამები, რომლებიც მოიცავს ფრჩხილის ტერმინებს, წილადებს და ფესვებს, მსგავსი ტერმინები, რომლებიც შეიძლება გაერთიანდეს, შეიძლება აშკარად არ ჩანდეს. ამ შემთხვევებში მიჰყევით ოპერაციების თანმიმდევრობას, შეასრულეთ ოპერაციები თქვენი გამოხატვის პირობებში, საჭიროებისამებრ, სანამ არ დარჩება შეკრებისა და გამოკლების ოპერაციები.

• მაგალითად, მოდით გამოვიყენოთ განტოლება 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. არასწორი იქნება დაუყოვნებლივ განვიხილოთ 3x და 2x მსგავსი ტერმინები და გავაერთიანოთ ისინი, რადგან გამოთქმაში ფრჩხილები მიუთითებს იმაზე, რომ ჩვენ ჯერ სხვა ოპერაციები უნდა გავაკეთოთ. პირველი, ჩვენ ვასრულებთ არითმეტიკულ ოპერაციებს გამოთქმაზე ოპერაციების თანმიმდევრობით, რათა მივიღოთ ის ტერმინები, რომელთა გამოყენებაც შეგვიძლია. იხილეთ შემდეგი:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x ახლა, ვინაიდან ერთადერთი დარჩენილი ოპერაცია არის შეკრება და გამოკლება, ჩვენ შეგვიძლია გავაერთიანოთ მსგავსი ტერმინები.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

3 მეთოდი 2: ფაქტორინგი

ნაბიჯი 1. გამოყავით ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორი გამოთქმაში

ფაქტორინგი არის გამოხატვის გამარტივების საშუალება იმ ფაქტორების ამოღებით, რომლებიც ერთნაირია გამოთქმაში. დასაწყისისთვის, იპოვნეთ ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორი, რომელიც აქვს ყველა ტერმინს - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც ყოფს ყველა ტერმინს გამოხატვის მთლიანობაში.

• მოდით გამოვიყენოთ 9x განტოლება² + 27x - 3. გაითვალისწინეთ, რომ ამ განტოლების ყველა ტერმინი იყოფა 3. -ზე, ვინაიდან ტერმინები არ იყოფა უფრო დიდ რიცხვზე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ

  ნაბიჯი 3. არის ჩვენი უდიდესი საერთო ფაქტორი.

ნაბიჯი 2. გამოყავით ტერმინები გამოთქმაში ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორით

შემდეგი, გაყავით თქვენი განტოლების თითოეული ტერმინი თქვენს მიერ აღმოჩენილ უდიდეს საერთო ფაქტორზე. კოეფიციენტის ტერმინებს ექნებათ უფრო მცირე კოეფიციენტი ვიდრე თავდაპირველ განტოლებას.

• მოდით განვსაზღვროთ ჩვენი განტოლება მისი უდიდესი საერთო ფაქტორით, 3. ამისათვის ჩვენ თითოეულ ტერმინს გავყოფთ 3 -ზე.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • ამრიგად, ჩვენი ახალი გამოხატულებაა 3x² + 9x - 1.

ნაბიჯი 3. დაწერეთ თქვენი გამოთქმა, როგორც უდიდესი საერთო ფაქტორის პროდუქტი გამრავლებული დანარჩენ პირობებზე

თქვენი ახალი გამოთქმა არ არის ექვივალენტი თქვენი ორიგინალური გამოთქმის, ამიტომ არასწორი იქნება იმის თქმა, რომ გამოთქმა გამარტივდა. იმისათვის, რომ ჩვენი ახალი გამოთქმა იყოს ორიგინალის ტოლი, ჩვენ უნდა შევიტანოთ ის ფაქტი, რომ ჩვენი გამოთქმა იყოფა ყველაზე დიდ საერთო ფაქტორზე. ჩასვით თქვენი ახალი გამოთქმა ფრჩხილებში და ჩაწერეთ ორიგინალური განტოლების უდიდესი საერთო ფაქტორი, როგორც გამოხატვის კოეფიციენტი ფრჩხილებში.

ჩვენი განტოლების მაგალითისთვის, 3x² + 9x - 1, ჩვენ შეგვიძლია ჩავრთოთ გამოთქმა ფრჩხილებში და გავამრავლოთ ორიგინალური განტოლების უდიდესი საერთო ფაქტორით მისაღებად 3 (3x² + 9x - 1) რა ეს განტოლება უტოლდება თავდაპირველ განტოლებას, 9x² +27x - 3

ნაბიჯი 4. წილადების გასამარტივებლად გამოიყენეთ ფაქტორინგი

თქვენ ალბათ გაინტერესებთ, რატომ გამოიყენება ფაქტორინგი, თუკი ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორის ამოღების შემდეგაც კი, ახალი გამოთქმა კვლავ უნდა გამრავლდეს ამ ფაქტორზე. ფაქტობრივად, ფაქტორინგი მათემატიკოსებს საშუალებას აძლევს შეასრულონ სხვადასხვა ხრიკი გამოთქმების გასამარტივებლად. მისი ერთ -ერთი ყველაზე იოლი ხერხი სარგებლობს იმით, რომ წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე გამრავლებით შეიძლება მივიღოთ ექვივალენტური წილადები. იხილეთ შემდეგი:

• თქვით ჩვენი საწყისი მაგალითი, 9x² + 27x - 3, არის უფრო დიდი წილის კვანტიფიკატორი, რომელსაც აქვს 3 მრიცხველი. ფრაქცია ასე გამოიყურება: (9x² + 27x - 3)/3. ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ფაქტორინგი წილადების გასამარტივებლად.

  • მოდით შევცვალოთ ჩვენი ორიგინალური გამოთქმის ფაქტორინგი ფორმა მრიცხველში გამოთქმებით: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • გაითვალისწინეთ, რომ ახლა, როგორც მრიცხველს, ასევე მნიშვნელს აქვს კოეფიციენტი 3. მრიცხველის და მნიშვნელის გაყოფით 3 -ზე ვიღებთ: (3x² + 9x - 1)/1.
  • ვინაიდან ნებისმიერი წილადის მნიშვნელი ექვივალენტია მრიცხველის პირობებში, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ჩვენი საწყისი წილადი შეიძლება გამარტივდეს 3x² + 9x - 1.

მეთოდი 3 -დან 3: დამატებითი გამარტივებული უნარების გამოყენება

ნაბიჯი 1. გაამარტივეთ წილადები იმავე ფაქტორებზე გაყოფით

როგორც ზემოთ აღინიშნა, თუ განტოლების მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვს ერთი და იგივე ფაქტორები, ეს ფაქტორები შეიძლება მთლიანად გამოტოვდეს წილადში. ხანდახან ის მოითხოვს ფაქტორინგს მრიცხველში, მნიშვნელში ან ორივეში (როგორც ეს ხდება ზემოთ მოყვანილ მაგალითში), ზოგჯერ კი ერთი და იგივე ფაქტორები ხშირად აშკარაა. გაითვალისწინეთ, რომ ასევე შესაძლებელია მრიცხველის ტერმინები მნიშვნელს განტოლებაზე სათითაოდ გავყოთ მარტივი გამოთქმის მისაღებად.

• მოდით ვიმუშაოთ მაგალითზე, რომელიც არ საჭიროებს ფაქტორინგს. წილადებისთვის (5x² + 10x + 20)/10, ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ თითოეული ტერმინი მრიცხველში 10 -ზე გასამარტივებლად, თუნდაც კოეფიციენტი 5 5x- ში² არ არის 10 -ზე მეტი და შესაბამისად 10 არ არის ფაქტორი.

  თუ ჩვენ გავაკეთებთ, ჩვენ მივიღებთ ((5x²)/10) + x + 2. თუ გვსურს, ჩვენ შეგვიძლია გადავაწეროთ პირველი ტერმინი როგორც (1/2) x² ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ (1/2) x² +x+2.

ნაბიჯი 2. გამოიყენეთ კვადრატული ფაქტორები ფესვების გასამარტივებლად

ძირეული ნიშნის ქვეშ გამოთქმას ეწოდება ძირეული გამოთქმა. ეს გამოთქმა შეიძლება გამარტივდეს კვადრატული ფაქტორების გამოვლენით (ფაქტორები, რომლებიც რიცხვების კვადრატია) და კვადრატული ფესვის ოპერაციის ცალკე შესრულებით კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვემოდან ამოღების მიზნით.

• მოდით გავაკეთოთ მარტივი მაგალითი - (90). თუ 90 – ს მივიჩნევთ როგორც მისი ორი ფაქტორის პროდუქტს, 9 და 10, შეგვიძლია ავიღოთ 9 – ის კვადრატული ფესვი, რომელიც არის მთელი 3 და ამოვიღოთ იგი რადიკალური ნიშნიდან. Სხვა სიტყვებით:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

ნაბიჯი 3. ორი ექსპონენტის გამრავლებისას დაამატეთ ექსპონენტები; გამოყოფისას გამოვაკლოთ

ზოგიერთი ალგებრული გამონათქვამი მოითხოვს ძალაუფლების ტერმინების გამრავლებას ან გაყოფას. იმის ნაცვლად, რომ გამოთვალოთ ან გაყოთ თითოეული ექსპონენტი ხელით, უბრალოდ დაამატეთ ექსპონენტები გამრავლებისას და გამოაკელით გაყოფისას, რათა დაზოგოთ დრო. ეს კონცეფცია ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ცვლადი გამონათქვამების გასამარტივებლად.

• მაგალითად, გამოვიყენოთ გამოთქმა 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). ნებისმიერ შემთხვევაში, როდესაც საჭიროა ექსპონენტების გამრავლება ან გაყოფა, ჩვენ გამოვაკლებთ ან დავამატებთ ექსპონენტებს, შესაბამისად, მარტივი ტერმინის სწრაფად მოსაძებნად. იხილეთ შემდეგი:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• იმის ახსნისთვის, თუ როგორ მუშაობს იგი, იხილეთ ქვემოთ:

  • ტერმინთა გამრავლება ექსპონენტებში სინამდვილეში ჰგავს ტერმინების გამრავლებას არა გრძელ ექსპონენტებში. მაგალითად, რადგან x³ = x × x × x და x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) (x × x × x × x × x), ან x⁸.
  • თითქმის ერთი და იგივე, ექსპონენტების გაყოფა ჰგავს ტერმინებს, არა გრძელ ექსპონენტებს. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). ვინაიდან მრიცხველში თითოეული ტერმინი შეიძლება გადაიკვეთოს მნიშვნელში ერთი და იგივე ტერმინის პოვნით, მრიცხველში დარჩა მხოლოდ ორი x და ბოლოში არაფერი დარჩა, რაც პასუხს გასცემს x².

Რჩევები

• ყოველთვის გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა წარმოიდგინოთ ეს რიცხვები, როგორც დადებითი და უარყოფითი ნიშნები. ბევრი ადამიანი ფიქრობს იმაზე, თუ რა ნიშანი უნდა დავდო აქ?
• ითხოვე დახმარება, თუ დაგჭირდება!
• ალგებრული გამონათქვამების გამარტივება ადვილი არ არის, მაგრამ მას შემდეგ რაც გააცნობიერებ მას გამოიყენებ სიცოცხლის ბოლომდე.

გაფრთხილება

• ყოველთვის მოძებნეთ მსგავსი ტომები და ნუ მოგატყუებთ წოდებით.
• დარწმუნდით, რომ არ დაამატებთ რიცხვებს, უფლებამოსილებებს ან ოპერაციებს, რომლებიც არ უნდა იყოს უნებლიედ.