ძირეული ფორმა არის ალგებრული განცხადება, რომელსაც აქვს კვადრატული ფესვის ნიშანი (ან კუბის ფესვი ან უფრო მაღალი). ეს ფორმა ხშირად შეიძლება წარმოადგენდეს ორ რიცხვს, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელობა, მიუხედავად იმისა, რომ ერთი შეხედვით შეიძლება განსხვავებული ჩანდეს (მაგალითად, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). ამრიგად, ჩვენ გვჭირდება "სტანდარტული ფორმულა" ამ სახის ფორმისთვის. თუ არსებობს ორი განცხადება, ორივე სტანდარტულ ფორმულაში, რომლებიც განსხვავებულად ჩანს, ისინი არ არიან ერთი და იგივე. მათემატიკოსები თანხმდებიან, რომ კვადრატული ფორმის სტანდარტული ფორმულირება აკმაყოფილებს შემდეგ მოთხოვნებს:
- მოერიდეთ წილადების გამოყენებას
- არ გამოიყენოთ წილადი ძალები
- მოერიდეთ ფესვის ფორმის მნიშვნელის გამოყენებას
- არ შეიცავს ორი ძირეული ფორმის გამრავლებას
- ფესვის ქვეშ მყოფი რიცხვები აღარ შეიძლება დაფესვიანდეს
ამის პრაქტიკული გამოყენება მრავალჯერადი არჩევანის გამოცდებშია. როდესაც იპოვით პასუხს, მაგრამ თქვენი პასუხი არ არის იგივე, რაც ხელმისაწვდომია, შეეცადეთ გაამარტივოთ იგი სტანდარტულ ფორმულაში. ვინაიდან კითხვის შემქმნელები ჩვეულებრივ წერენ პასუხებს სტანდარტული ფორმულებით, იგივე გააკეთეთ თქვენი პასუხებით, რათა მათ ემთხვეოდეს. ესეს კითხვებში, ისეთი ბრძანებები, როგორიცაა "გაამარტივე შენი პასუხი" ან "გაამარტივე ყველა ფესვი" ნიშნავს, რომ მოსწავლეებმა უნდა განახორციელონ შემდეგი ნაბიჯები, სანამ არ შეასრულებენ ზემოთ მოცემულ სტანდარტულ ფორმულას. ეს ნაბიჯი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას განტოლებათა ამოსახსნელად, თუმცა ზოგიერთი სახის განტოლება უფრო ადვილია ამოხსნა არასტანდარტულ ფორმულებში.
ნაბიჯი
ნაბიჯი 1. საჭიროების შემთხვევაში, გადახედეთ ფესვებისა და ექსპონენტების მოქმედების წესებს (ორივე თანაბარია - ფესვები არის წილადების ძალა), რადგან ჩვენ გვჭირდება ისინი ამ პროცესში
ასევე გადახედეთ პოლინომებისა და რაციონალური ფორმების გამარტივების წესებს, რადგან მათი გამარტივება დაგვჭირდება.
მეთოდი 1 -დან 6 -დან: სრულყოფილი კვადრატები
ნაბიჯი 1. გაამარტივეთ ყველა ფესვი, რომელიც შეიცავს სრულყოფილ კვადრატებს
სრულყოფილი კვადრატი არის რიცხვის პროდუქტი თავისთავად, მაგალითად 81, რომელიც არის პროდუქტი 9 x 9. სრულყოფილი კვადრატის გასამარტივებლად, უბრალოდ ამოიღეთ კვადრატული ფესვი და ჩაწერეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი.
- მაგალითად, 121 არის სრულყოფილი კვადრატი, რადგან 11 x 11 უდრის 121. ასე რომ, თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ ფესვი (121) 11 -მდე, ფესვის ნიშნის ამოღებით.
- ამ ნაბიჯის გასაადვილებლად, თქვენ უნდა გახსოვდეთ პირველი თორმეტი სრულყოფილი კვადრატი: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
ნაბიჯი 2. გაამარტივეთ ყველა ფესვი, რომელიც შეიცავს სრულყოფილ კუბებს
სრულყოფილი კუბი არის რიცხვის ორჯერ გამრავლების პროდუქტი, მაგალითად 27, რომელიც არის პროდუქტი 3 x 3 x 3. სრულყოფილი კუბის ძირეული ფორმის გასამარტივებლად, უბრალოდ ამოიღეთ კვადრატული ფესვი და ჩაწერეთ კვადრატული ფესვი რიცხვიდან.
მაგალითად, 343 არის სრულყოფილი კუბი, რადგან ის არის პროდუქტი 7 x 7 x 7. ასე რომ 343 კუბის ფესვი არის 7
მეთოდი 2 -დან 6 -დან: წილადების ფესვებად გადაქცევა
ან სხვაგვარად შეცვლა (ეს ზოგჯერ ეხმარება), მაგრამ არ აურიოთ ისინი იმავე განცხადებაში, როგორც root (5) + 5^(3/2). ჩვენ ვივარაუდოთ, რომ თქვენ გსურთ გამოიყენოთ ძირეული ფორმა და ჩვენ გამოვიყენებთ სიმბოლოებს root (n) კვადრატული ფესვისთვის და sqrt^3 (n) კუბის ფესვისთვის.
ნაბიჯი 1. მიიღეთ ერთი წილადის სიმძლავრეზე და გადააქციეთ იგი ძირეულ ფორმაში, მაგალითად x^(a/b) = ფესვი x^a- ს b სიმძლავრეზე
თუ კვადრატული ფესვი არის წილადის ფორმაში, გადააკეთეთ იგი ჩვეულებრივ ფორმაში. მაგალითად, კვადრატული ფესვი (2/3) 4 = ფესვი (4)^3 = 2^3 = 8
ნაბიჯი 2. უარყოფითი ექსპონენტები გადააკეთეთ წილადებად, მაგალითად x^-y = 1/x^y
ეს ფორმულა ეხება მხოლოდ მუდმივ და რაციონალურ ექსპონენტებს. თუ თქვენ გაქვთ ისეთი ფორმა, როგორიცაა 2^x, არ შეცვალოთ იგი, მაშინაც კი, თუ პრობლემა მიუთითებს, რომ x შეიძლება იყოს წილადი ან უარყოფითი რიცხვი
ნაბიჯი 3. ერთი და იგივე ტომის გაერთიანება და გამარტივდეს მიღებული რაციონალური ფორმა.
მეთოდი 3 დან 6: აღმოფხვრა ფრაქციები ფესვებში
სტანდარტული ფორმულა მოითხოვს, რომ ფესვი იყოს მთელი რიცხვი.
ნაბიჯი 1. შეხედეთ რიცხვს კვადრატული ფესვის ქვეშ, თუ ის კვლავ შეიცავს წილადს
თუ მაინც,…
ნაბიჯი 2. შეცვალეთ ფრაქცია, რომელიც შედგება ორი ფესვისგან, იდენტობის ფესვის გამოყენებით (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
არ გამოიყენოთ ეს იდენტობა, თუ მნიშვნელი არის უარყოფითი, ან თუ ის ცვლადია, რომელიც შეიძლება იყოს უარყოფითი. ამ შემთხვევაში, ჯერ გაამარტივეთ წილადი
ნაბიჯი 3. გაამარტივეთ შედეგის თითოეული სრულყოფილი კვადრატი
ანუ გადააკეთეთ sqrt (5/4) sqrt (5)/sqrt (4), შემდეგ გაამარტივეთ sqrt (5)/2.
ნაბიჯი 4. გამოიყენეთ სხვა გამარტივების მეთოდები, როგორიცაა რთული წილადების გამარტივება, თანაბარი ტერმინების გაერთიანება და ა.შ
მეთოდი 4 დან 6: გამრავლების ფესვების გაერთიანება
ნაბიჯი 1. თუ თქვენ ამრავლებთ ერთ ძირითად ფორმას მეორეზე, შეუთავსეთ ორი ერთ კვადრატულ ფესვს ფორმულის გამოყენებით:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). მაგალითად, შეცვალეთ root (2)*root (6) root (12).
- ვინაობა ზემოთ, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), ძალაშია, თუ sqrt ნიშნის ქვეშ რიცხვი არ არის უარყოფითი. არ გამოიყენოთ ეს ფორმულა, როდესაც a და b უარყოფითია, რადგან თქვენ დაუშვებთ sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). განცხადება მარცხნივ ტოლია -1 (ან განუსაზღვრელია, თუ არ იყენებთ რთულ რიცხვებს), ხოლო მარჯვნივ არის +1. თუ a და/ან b უარყოფითია, ჯერ "შეცვალეთ" ნიშანი sqrt (-5) = i*sqrt (5). თუ ძირეული ნიშნის ფორმა არის ცვლადი, რომლის ნიშანი უცნობია კონტექსტიდან ან შეიძლება იყოს დადებითი ან უარყოფითი, დატოვეთ ის ისე, როგორც არის. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უფრო ზოგადი იდენტურობა, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |), რომელიც ეხება ყველა რეალურ რიცხვს a და b, მაგრამ, როგორც წესი, ეს ფორმულა დიდად არ გვეხმარება, რადგან ის სირთულეს მატებს sgn (signum) ფუნქციის გამოყენებას.
- ეს იდენტობა ძალაშია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ფესვების ფორმებს აქვთ ერთი და იგივე მაჩვენებელი. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ სხვადასხვა კვადრატული ფესვი, როგორიცაა sqrt (5)*sqrt^3 (7) მათ ერთსა და იმავე კვადრატულ ფესვად გარდაქმნით. ამისათვის დროებით გადააკეთეთ კვადრატული ფესვი წილად: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). შემდეგ გამოიყენეთ გამრავლების წესი, რომ გაამრავლოთ ორი 6125 -ის კვადრატულ ფესვზე.
მეთოდი 5 -დან 6 -დან: კვადრატული ფაქტორის ამოღება ფესვიდან
ნაბიჯი 1. არასრულყოფილი ფესვების ფაქტორინგი პირველ ფაქტორებად
ფაქტორი არის რიცხვი, რომელიც სხვა რიცხვზე გამრავლებისას ქმნის რიცხვს - მაგალითად, 5 და 4 არის ორი ფაქტორი 20. არასრულყოფილი ფესვების დასაშლელად ჩაწერეთ რიცხვის ყველა ფაქტორი (ან რაც შეიძლება მეტი, თუ რიცხვი ძალიან დიდია) სანამ არ იპოვით სრულყოფილ კვადრატს.
მაგალითად, შეეცადეთ იპოვოთ ყველა ფაქტორი 45: 1, 3, 5, 9, 15 და 45. 9 არის ფაქტორი 45 და ასევე არის სრულყოფილი კვადრატი (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
ნაბიჯი 2. ამოიღეთ ყველა გამრავლება, რომლებიც სრულყოფილი კვადრატებია კვადრატული ფესვიდან
9 არის სრულყოფილი კვადრატი, რადგან ის არის პროდუქტი 3 x 3. ამოიღეთ კვადრატული ფესვიდან 9 და შეცვალეთ იგი კვადრატული ფესვის წინ 3 -ით, დატოვეთ 5 კვადრატული ფესვის შიგნით. თუ თქვენ "დააბრუნებთ" 3 კვადრატულ ფესვში, გამრავლდით თავისთავად და შექმენით 9, ხოლო თუ გავამრავლოთ 5 -ით ის აბრუნებს 45 -ს. 5 -ის 3 ფესვი არის 45 -ის ფესვის გამოხატვის მარტივი გზა.
ანუ, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
ნაბიჯი 3. იპოვეთ სრულყოფილი კვადრატი ცვლადში
კვადრატის კვადრატული ფესვი არის | a | რა თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ ეს მხოლოდ "a" - ში, თუ ცნობილი ცვლადი დადებითია. A- ს კვადრატული ფესვი 3 -ის ხარისხზე, როდესაც დაიშლება კვადრატულ ჯერ a - გახსოვდეთ, რომ ექსპონენტები ჯამდება, როდესაც ორ რიცხვს ვამრავლებთ a- ს სიმძლავრეზე, ასე რომ კვადრატში a უდრის a- ს მესამე ძალა.
ამრიგად, კუბის სახით სრულყოფილი კვადრატი არის კვადრატი
ნაბიჯი 4. ამოიღეთ სრულყოფილი კვადრატის შემცველი ცვლადი კვადრატული ფესვიდან
ახლა აიღეთ კვადრატი კვადრატული ფესვიდან და შეცვალეთ | a | რა 3 -ის სიმძლავრის ფესვის მარტივი ფორმა არის | a | ფესვი a
ნაბიჯი 5. შეუთავსეთ თანაბარი პირობები და გაამარტივეთ გაანგარიშების შედეგების ყველა ფესვი
მეთოდი 6 -დან 6 -დან: მნიშვნელის რაციონალიზაცია
ნაბიჯი 1. სტანდარტული ფორმულა მოითხოვს, რომ მნიშვნელი იყოს მთელი რიცხვი (ან პოლინომი თუ შეიცავს ცვლადს) მაქსიმალურად
-
თუ მნიშვნელი შედგება ერთი ტერმინისგან ძირის ნიშნის ქვეშ, როგორიცაა […]/ფესვი (5), მაშინ გამრავლდით მრიცხველიც და მნიშვნელიც ამ ფესვით, რომ მიიღოთ […]*კვადრატული მეტრი (5)/კვადრატული მეტრი (5)*კვადრატული მეტრი (5) = […]*ფესვი (5)/5.
კუბის ფესვებისთვის ან უფრო მაღალი, გამრავლდით შესაბამისი ფესვით ისე, რომ მნიშვნელი რაციონალური იყოს. თუ მნიშვნელი არის ფესვი^3 (5), გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი კვადრატულ მეტრზე^3 (5)^2
-
თუ მნიშვნელი შედგება ორი კვადრატული ფესვის დამატებისა და გამოკლებისგან, როგორიცაა sqrt (2) + sqrt (6), გამრავლდით კვანტიფიკატორი და მნიშვნელი მათ კონიუგატზე, რომელიც იგივე ფორმაა, მაგრამ საპირისპირო ნიშნით. შემდეგ […]/(root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6))/(root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). შემდეგ გამოიყენეთ პირადობის ფორმულა ორი კვადრატის სხვაობისათვის [(a + b) (ab) = a^2-b^2] მნიშვნელის რაციონალიზაციისთვის, გასამარტივებლად (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- ეს ასევე ეხება მნიშვნელს, როგორიცაა 5 + sqrt (3), რადგან ყველა მთელი რიცხვი სხვა მთელი რიცხვების ფესვებია. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- ეს მეთოდი ასევე ვრცელდება ისეთი ფესვების დამატებაზე, როგორიცაა sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). თუ თქვენ დააჯგუფებთ მათ (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) და ამრავლებთ (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), პასუხი არ არის რაციონალური ფორმით, არამედ ჯერ კიდევ+b*ფესვში (30), სადაც a და b უკვე რაციონალური რიცხვებია. შემდეგ გაიმეორეთ პროცესი კონიუგატებით a+b*sqrt (30) და (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) რაციონალური იქნება. არსებითად, თუ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ეს ხრიკი მნიშვნელიდან ერთი ძირეული ნიშნის მოსაშორებლად, შეგიძლიათ გაიმეოროთ იგი ბევრჯერ ყველა ფესვის ამოსაღებად.
- ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მნიშვნელებისთვისაც, რომლებიც შეიცავს უფრო მაღალ ფესვს, მაგალითად მე –3 ფესვი 3 – დან ან მეშვიდე ფესვი 9. გამრავლეთ მრიცხველი და მნიშვნელი მნიშვნელის შეერთებით. სამწუხაროდ, ჩვენ არ შეგვიძლია პირდაპირ მივიღოთ მნიშვნელის კონიუგატი და ძნელია ამის გაკეთება. ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ პასუხი რიცხვების თეორიის ალგებრა წიგნში, მაგრამ მე არ შევალ ამ საკითხში.
ნაბიჯი 2. ახლა მნიშვნელი რაციონალურ ფორმაშია, მაგრამ მრიცხველი არეულად გამოიყურება
ახლა თქვენ მხოლოდ უნდა გაამრავლოთ ის მნიშვნელის შეერთებით. წადით წინ და გამრავლდით, როგორც ჩვენ გავამრავლებთ მრავალწევრებს. შეამოწმეთ, შესაძლებელია თუ არა რაიმე პირობების გამოტოვება, გამარტივება ან კომბინირება, თუ ეს შესაძლებელია.
ნაბიჯი 3. თუ მნიშვნელი არის უარყოფითი მთელი რიცხვი, გამრავლდით როგორც მრიცხველი, ასევე მნიშვნელი -1 -ით, რათა ის დადებითი იყოს
Რჩევები
- შეგიძლიათ ინტერნეტში მოძებნოთ საიტები, რომლებიც დაგეხმარებათ ძირეული ფორმების გამარტივებაში. უბრალოდ ჩაწერეთ განტოლება ძირეული ნიშნით და Enter- ზე დაჭერის შემდეგ გამოჩნდება პასუხი.
- უფრო მარტივი კითხვებისთვის, თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ამ სტატიის ყველა ნაბიჯი. უფრო რთული კითხვებისთვის შეიძლება დაგჭირდეთ რამოდენიმე ნაბიჯის გამოყენება არაერთხელ. რამდენჯერმე გამოიყენეთ "მარტივი" ნაბიჯები და შეამოწმეთ, შეესაბამება თუ არა თქვენი პასუხი სტანდარტული ფორმულირების კრიტერიუმებს, რომლებიც ადრე განვიხილეთ. თუ თქვენი პასუხი არის სტანდარტულ ფორმულაში, თქვენ დაასრულეთ; მაგრამ თუ არა, შეგიძლიათ შეამოწმოთ ერთი ნაბიჯი ზემოთ, რათა დაგეხმაროთ ამის გაკეთებაში.
- ფესვების ფორმის "რეკომენდებული სტანდარტული ფორმულის" მითითება უმეტესად ეხება კომპლექსურ რიცხვებს (i = root (-1)). მაშინაც კი, თუ განცხადება შეიცავს "i" - ს ნაცვლად ფესვისა, თავიდან აიცილეთ მნიშვნელი, რომელიც მაინც შეიცავს i- ს მაქსიმალურად.
- ამ სტატიის ზოგიერთი ინსტრუქცია ვარაუდობს, რომ ყველა ფესვი კვადრატია. იგივე ზოგადი პრინციპები ვრცელდება უმაღლესი ძალების ფესვებზე, თუმცა ზოგიერთ ნაწილზე (განსაკუთრებით მნიშვნელის რაციონალიზაცია) შეიძლება საკმაოდ რთული იყოს მუშაობა. თავად გადაწყვიტეთ რა ფორმა გსურთ, მაგალითად sqr^3 (4) ან sqr^3 (2)^2. (არ მახსოვს, ჩვეულებრივ რა ფორმას გვთავაზობენ სახელმძღვანელოებში).
- ამ სტატიაში მოცემული ზოგიერთი ინსტრუქცია იყენებს სიტყვას "სტანდარტული ფორმულა", რათა აღწეროს "რეგულარული ფორმა". განსხვავება ისაა, რომ სტანდარტული ფორმულა იღებს მხოლოდ ფორმას 1+sqrt (2) ან sqrt (2) +1 და სხვა ფორმებს მიიჩნევს არასტანდარტულად; უბრალო ფორმა ვარაუდობს, რომ თქვენ, მკითხველი, საკმარისად ჭკვიანი ხართ იმისათვის, რომ ნახოთ ამ ორი რიცხვის "მსგავსება", მიუხედავად იმისა, რომ ისინი არ არიან იდენტური წერილობით ("იგივე" ნიშნავს მათ არითმეტიკულ თვისებაში (კომუტაციური დამატება) და არა მათ ალგებრულ თვისებას (ფესვი (2) არის x^2-2-ის არაუარყოფითი ფესვი)). ჩვენ ვიმედოვნებთ, რომ მკითხველი მიხვდება ამ ტერმინოლოგიის გამოყენების უმნიშვნელო დაუდევრობას.
- თუ რომელიმე მინიშნება გაურკვეველი ან წინააღმდეგობრივი ჩანს, გააკეთეთ ყველა ის ნაბიჯი, რომელიც არის ერთმნიშვნელოვანი და თანმიმდევრული და შემდეგ შეარჩიეთ რომელი ფორმა გირჩევნიათ.
