"განტოლებათა სისტემაში" მოგეთხოვებათ ერთდროულად ორი ან მეტი განტოლების ამოხსნა. როდესაც ორ განტოლებას აქვს ორი განსხვავებული ცვლადი, მაგალითად x და y, გამოსავალი შეიძლება თავიდან რთულად მოგვეჩვენოს. საბედნიეროდ, მას შემდეგ რაც იცით რა უნდა გააკეთოთ, შეგიძლიათ უბრალოდ გამოიყენოთ თქვენი ალგებრული უნარები (და მეცნიერება წილადების გამოთვლის შესახებ) პრობლემის გადასაჭრელად. ასევე ისწავლეთ როგორ დავხატოთ ეს ორი განტოლება, თუ თქვენ ხართ ვიზუალური მოსწავლე, ან მასწავლებლის მოთხოვნით. ნახატები დაგეხმარებათ განსაზღვროთ საგანი ან შეამოწმოთ თქვენი მუშაობის შედეგები. თუმცა, ეს მეთოდი უფრო ნელია, ვიდრე სხვა მეთოდები და არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას განტოლებათა ყველა სისტემისთვის.
ნაბიჯი
მეთოდი 1 – დან 3 – დან: შემცვლელი მეთოდის გამოყენება
ნაბიჯი 1. ცვლადების გადატანა განტოლების საპირისპირო მხარეს
ჩანაცვლების მეთოდი იწყება "x მნიშვნელობის პოვნით" (ან ნებისმიერი სხვა ცვლადის) ერთ -ერთ განტოლებაში. მაგალითად, ვთქვათ, პრობლემის განტოლება არის 4x + 2y = 8 და 5x + 3y = 9 რა დაიწყეთ პირველი განტოლების მუშაობით. გადააკეთეთ განტოლება ორივე მხარის გამოკლებით 2y. ამრიგად, თქვენ მიიღებთ 4x = 8 - 2y.
ეს მეთოდი ხშირად იყენებს წილადებს ბოლოს. თუ არ მოგწონთ წილადების დათვლა, სცადეთ ქვემოთ მოხსნის მეთოდი
ნაბიჯი 2. გაყავით განტოლების ორივე მხარე "იპოვეთ x- ის მნიშვნელობა"
მას შემდეგ რაც ტერმინი x (ან ნებისმიერი ცვლადი, რომელსაც თქვენ იყენებთ) არის განტოლების ერთ მხარეს მარტო, გაყავით განტოლების ორივე მხარე კოეფიციენტებზე ისე, რომ დარჩეს მხოლოდ ცვლადი. Როგორც მაგალითი:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
ნაბიჯი 3. შეაერთეთ x მნიშვნელობა პირველი განტოლებიდან მეორე განტოლებაში
დარწმუნდით, რომ შეაერთეთ იგი მეორე განტოლებაში, ნაცვლად იმისა, რომელზეც ახლახან იმუშავეთ. შეცვალეთ (შეცვალეთ) x განტოლება მეორე განტოლებაში. ამრიგად, მეორე განტოლებას ახლა აქვს მხოლოდ ერთი ცვლადი. Როგორც მაგალითი:
- Ცნობილია x = 2 - y.
- შენი მეორე განტოლებაა 5x + 3y = 9.
- მეორე განტოლებაში x ცვლადის შეცვლის შემდეგ პირველი განტოლებიდან x მნიშვნელობით, ჩვენ ვიღებთ "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
ნაბიჯი 4. ამოხსენით დარჩენილი ცვლადები
ახლა, თქვენს განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი ცვლადი. გამოთვალეთ განტოლება ჩვეულებრივი ალგებრული ოპერაციებით ცვლადის მნიშვნელობის საპოვნელად. თუ ორი ცვლადი გააუქმებს ერთმანეთს, გადადით პირდაპირ ბოლო საფეხურზე. წინააღმდეგ შემთხვევაში თქვენ მიიღებთ მნიშვნელობას ერთ -ერთი ცვლადისთვის:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (თუ ეს ნაბიჯი არ გესმით, ისწავლეთ წილადების დამატება.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
ნაბიჯი 5. გამოიყენეთ მიღებული პასუხი, რათა იპოვოთ x ნამდვილი მნიშვნელობა პირველ განტოლებაში
ჯერ არ გაჩერდეთ, რადგან თქვენი გათვლები ჯერ არ დასრულებულა. თქვენ უნდა შეაერთოთ მიღებული პასუხი პირველ განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადების მნიშვნელობა:
- Ცნობილია y = -2
- პირველი განტოლების ერთ -ერთი განტოლებაა 4x + 2y = 8 რა (შეგიძლიათ გამოიყენოთ რომელიმე.)
- შეცვალეთ y ცვლადი -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
ნაბიჯი 6. იცოდეთ რა უნდა გააკეთოთ, თუ ორი ცვლადი გააუქმებს ერთმანეთს
როცა შეხვალ x = 3y+2 ან მეორე განტოლების მსგავსი პასუხი, რაც იმას ნიშნავს, რომ თქვენ ცდილობთ მიიღოთ განტოლება, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი ცვლადი. ზოგჯერ, თქვენ უბრალოდ იღებთ განტოლებას გარეშე ცვლადი. ორმაგად შეამოწმეთ თქვენი სამუშაო და დარწმუნდით, რომ თქვენ განტოლება ერთი განალაგეთ მეორე განტოლებაში, ნაცვლად იმისა, რომ დაბრუნდეთ პირველ განტოლებაში. როდესაც დარწმუნდებით, რომ არაფერი დაგიშავებიათ, ჩაწერეთ ერთი შემდეგი შედეგი:
- თუ განტოლებას არ აქვს ცვლადი და არ არის ჭეშმარიტი (მაგალითად, 3 = 5), ეს პრობლემაა არ აქვს პასუხი რა (როდესაც ეს არის გამოსახული, ეს ორი განტოლება პარალელურია და არასოდეს ხვდება ერთმანეთს.)
- თუ განტოლებას არ აქვს ცვლადი და სწორია, (მაგ. 3 = 3), რაც იმას ნიშნავს, რომ კითხვას აქვს შეუზღუდავი პასუხები რა განტოლება ერთი ზუსტად იგივეა, რაც მეორე განტოლება. (გამოსახვისას, ეს ორი განტოლება ერთი და იგივე ხაზია.)
3 მეთოდი 2: ელიმინაციის მეთოდის გამოყენება
ნაბიჯი 1. იპოვეთ ურთიერთგამომრიცხავი ცვლადები
ზოგჯერ, პრობლემის განტოლება უკვე არსებობს გააუქმეთ ერთმანეთი როდესაც დაემატება. მაგალითად, თუ გააკეთებთ განტოლებას 3x + 2y = 11 და 5x - 2y = 13, ტერმინები "+2y" და "-2y" გააუქმებს ერთმანეთს და ამოიღებს ცვლადს "y" განტოლებიდან. შეხედეთ პრობლემის განტოლებას და ნახეთ არის თუ არა ცვლადები, რომლებიც ანადგურებენ ერთმანეთს, როგორც მაგალითში. თუ არა, გააგრძელეთ შემდეგი ნაბიჯი.
ნაბიჯი 2. გავამრავლოთ განტოლება ერთზე ისე, რომ ერთი ცვლადი ამოღებულ იქნეს
(გამოტოვეთ ეს ნაბიჯი, თუ ცვლადები უკვე გააუქმებენ ერთმანეთს). გადახედეთ შემდეგ მაგალითებს, რათა ადვილად გაიგოთ ისინი:
- პრობლემის განტოლებებია 3x - y = 3 და - x + 2y = 4.
- მოდით შევცვალოთ პირველი განტოლება ისე, რომ ცვლადი y გააუქმეთ ერთმანეთი. (შეგიძლიათ გამოიყენოთ ცვლადი x რა მიღებული საბოლოო პასუხი იგივე იქნება.)
- ცვალებადი - y პირველ განტოლებაში უნდა აღმოიფხვრას მიერ + 2y მეორე განტოლებაში. როგორ, გავამრავლოთ - y 2 -ით.
- გავამრავლოთ განტოლების ორივე მხარე 2 -ით, შემდეგნაირად: 2 (3x - y) = 2 (3), ისე 6x - 2y = 6 რა ახლა, ტომი - 2 წელი გააუქმებს ერთმანეთს +2y მეორე განტოლებაში.
ნაბიჯი 3. შეუთავსეთ ორი განტოლება
ხრიკი მდგომარეობს იმაში, რომ დაამატოთ პირველი განტოლების მარჯვენა მხარე მეორე განტოლების მარჯვენა მხარეს და დაამატოთ პირველი განტოლების მარცხენა მხარე მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს. თუ სწორად გაკეთდა, ერთი ცვლადი გააუქმებს ერთმანეთს. შევეცადოთ გავაგრძელოთ გაანგარიშება წინა მაგალითიდან:
- შენი ორი განტოლებაა 6x - 2y = 6 და - x + 2y = 4.
- დაამატეთ ორი განტოლების მარცხენა მხარე: 6x - 2y - x + 2y =?
- დაამატეთ ორი განტოლების მარჯვენა მხარე: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
ნაბიჯი 4. მიიღეთ ბოლო ცვლადი მნიშვნელობა
გაამარტივეთ თქვენი რთული განტოლება და იმუშავეთ სტანდარტული ალგებრით, რომ მიიღოთ ბოლო ცვლადის მნიშვნელობა. თუ გამარტივების შემდეგ განტოლებას არ აქვს ცვლადი, განაგრძეთ ამ საფეხურის ბოლო საფეხური.
წინააღმდეგ შემთხვევაში, თქვენ მიიღებთ მნიშვნელობას ერთ -ერთი ცვლადისთვის. Როგორც მაგალითი:
- Ცნობილია 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- ჯგუფის ცვლადები x და y ერთად: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- გაამარტივეთ განტოლება: 5x = 10
- იპოვეთ x მნიშვნელობა: (5x)/5 = 10/5, მოსაპოვებლად x = 2.
ნაბიჯი 5. იპოვეთ სხვა ცვლადის მნიშვნელობა
თქვენ იპოვეთ ერთი ცვლადის მნიშვნელობა, მაგრამ რაც შეეხება მეორეს? შეაერთეთ თქვენი პასუხი ერთ -ერთ განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადის მნიშვნელობა. Როგორც მაგალითი:
- Ცნობილია x = 2 და პრობლემის ერთ -ერთი განტოლებაა 3x - y = 3.
- შეცვალეთ x ცვლადი 2 -ით: 3 (2) - y = 3.
- იპოვეთ y მნიშვნელობა ტოლობაში: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, ისე 6 = 3 + y
- 3 = y
ნაბიჯი 6. იცოდეთ რა უნდა გააკეთოთ, როდესაც ორი ცვლადი გააუქმებს ერთმანეთს
ზოგჯერ, ორი განტოლების გაერთიანება იწვევს განტოლებას, რომელსაც აზრი არ აქვს, ან არ გეხმარებათ პრობლემის გადაჭრაში. გადახედეთ თქვენს მუშაობას და თუ დარწმუნებული ხართ, რომ არაფერი დაგიშავებიათ, დაწერეთ შემდეგი ორი პასუხიდან ერთი:
- თუ კომბინირებულ განტოლებას არ აქვს ცვლადი და არ არის ჭეშმარიტი (მაგალითად, 2 = 7), ეს პრობლემაა არ აქვს პასუხი რა ეს პასუხი ეხება ორივე განტოლებას. (როდესაც ეს არის გამოსახული, ეს ორი განტოლება პარალელურია და არასოდეს ხვდება ერთმანეთს.)
- თუ კომბინირებულ განტოლებას არ აქვს ცვლადი და სწორია, (მაგ. 0 = 0), რაც იმას ნიშნავს, რომ კითხვა აქვს შეუზღუდავი პასუხები რა ეს ორი განტოლება ერთმანეთის იდენტურია. (გამოსახვისას, ეს ორი განტოლება ერთი და იგივე ხაზია.)
მეთოდი 3 -დან 3: დახაზეთ განტოლებათა გრაფიკი
ნაბიჯი 1. შეასრულეთ ეს მეთოდი მხოლოდ ინსტრუქციის შემდეგ
თუ თქვენ არ იყენებთ კომპიუტერს ან გრაფიკული კალკულატორს, ამ მეთოდს შეუძლია მხოლოდ მიაწოდოს სავარაუდო პასუხები. თქვენმა მასწავლებელმა ან სახელმძღვანელომ შეიძლება გითხრათ, რომ გამოიყენოთ ეს მეთოდი, რათა მიიღოთ ჩვევები ხაზების სახით განტოლების დახატვისა. ეს მეთოდი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ზემოთ მოყვანილ მეთოდებზე პასუხის შესამოწმებლად.
მთავარი იდეა ისაა, რომ თქვენ უნდა აღწეროთ ორი განტოლება და იპოვოთ მათი გადაკვეთის წერტილი. X და y მნიშვნელობა გადაკვეთის ამ წერტილში არის პასუხი პრობლემაზე
ნაბიჯი 2. იპოვეთ ორივე განტოლების y- მნიშვნელობები
ნუ აერთიანებთ ორ განტოლებას და შეცვალეთ თითოეული განტოლება ისე, რომ ფორმატი იყოს "y = _x + _". Როგორც მაგალითი:
- შენი პირველი განტოლებაა 2x + y = 5 რა შეცვლა y = -2x + 5.
- შენი პირველი განტოლებაა - 3x + 6y = 0 რა შეცვლა 6y = 3x + 0 და გაუადვილეთ y = x + 0.
- თუ თქვენი ორი განტოლება ზუსტად იგივეა, მთელი ხაზი არის ორი განტოლების "კვეთა". დაწერე შეუზღუდავი პასუხები როგორც პასუხი.
ნაბიჯი 3. დახაზეთ საკოორდინატო ღერძი
გრაფიკულ ქაღალდზე დახაზეთ ვერტიკალური "y ღერძი" და ჰორიზონტალური "x ღერძი" ხაზი. დაწყებული იმ წერტილიდან, სადაც ორი ღერძი იკვეთება (0, 0), ჩაწერეთ რიცხვითი წარწერები 1, 2, 3, 4 და ასე შემდეგ თანმიმდევრულად მიუთითეთ y ღერძზე ზემოთ და მიუთითეთ მარჯვნივ x ღერძზე რა ამის შემდეგ ჩაწერეთ რიცხვითი წარწერები -1, -2 და ასე შემდეგ თანმიმდევრულად მიუთითეთ ქვემოთ y ღერძზე და მიუთითეთ მარცხნივ x ღერძზე.
- თუ არ გაქვთ გრაფიკული ქაღალდი, გამოიყენეთ მმართველი, რომ დარწმუნდეთ, რომ მანძილი თითოეულ რიცხვს შორის ზუსტად იგივეა.
- თუ თქვენ იყენებთ დიდ რიცხვებს ან ათწილადებს, ჩვენ გირჩევთ თქვენი გრაფის მასშტაბირება (მაგ. 10, 20, 30 ან 0, 1, 0, 2, 0, 3 ნაცვლად 1, 2, 3).
ნაბიჯი 4. დახაზეთ y განტოლების წერტილი თითოეული განტოლებისთვის
თუ განტოლება არის ფორმაში y = _x + _, თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ გრაფიკის დახატვა იმ წერტილის შექმნით, სადაც განტოლების ხაზი კვეთს y ღერძს. Y მნიშვნელობა ყოველთვის იგივეა, რაც განტოლების ბოლო რიცხვი.
-
წინა მაგალითის გაგრძელება, პირველი ხაზი (y = -2x + 5) კვეთს y ღერძს at
ნაბიჯი 5.რა მეორე ხაზი (y = x + 0) კვეთს y ღერძს at 0 რა (ეს წერტილები იწერება როგორც (0, 5) და (0, 0) გრაფაში.)
- თუ შესაძლებელია, დახაზეთ პირველი და მეორე ხაზები სხვადასხვა ფერის კალმით ან ფანქრებით.
ნაბიჯი 5. გამოიყენეთ ფერდობი ხაზის გასაგრძელებლად
განტოლების ფორმატში y = _x + _, x– ის წინ რიცხვი მიუთითებს ხაზის „ფერდობის დონეს“. ყოველ ჯერზე x იზრდება ერთით, y მნიშვნელობა გაიზრდება ფერდობების დონის რაოდენობით. გამოიყენეთ ეს ინფორმაცია, რომ იპოვოთ წერტილები გრაფიკზე თითოეული ხაზისთვის, როდესაც x = 1. (ასევე შეგიძლიათ შეიყვანოთ x = 1 თითოეულ განტოლებაში და იპოვოთ y მნიშვნელობა.)
- ვაგრძელებთ წინა მაგალითს, ხაზს y = -2x + 5 აქვს ფერდობზე - 2 რა X = 1 წერტილში, ხაზი მოძრაობს ქვემოთ 2 -ით x = 0. დახაზეთ (0, 5) დამაკავშირებელი ხაზი (1, 3) -თან.
- ხაზი y = x + 0 აქვს ფერდობზე ½ რა X = 1 -ზე, ხაზი მოძრაობს ვისრიალოთ x = 0 წერტილიდან. დახაზეთ ხაზი (0, 0) (1,) - თან.
- თუ ორ ხაზს აქვს იგივე დახრილობა, ეს ორი არასოდეს გადაიკვეთება. ამრიგად, განტოლებათა ამ სისტემას პასუხი არ აქვს. დაწერე პასუხის გარეშე როგორც პასუხი.
ნაბიჯი 6. განაგრძეთ ხაზების შეერთება, სანამ ორი ხაზი არ გადაიკვეთება
შეწყვიტე მუშაობა და გადახედე შენს გრაფიკს. თუ ორი ხაზი გადაკვეთა ერთმანეთმა, გააგრძელეთ შემდეგი ნაბიჯი. თუ არა, მიიღეთ გადაწყვეტილება თქვენი ორი სტრიქონის პოზიციიდან გამომდინარე:
- თუ ორი ხაზი უახლოვდება ერთმანეთს, განაგრძეთ თქვენი ზოლების წერტილების დაკავშირება.
- თუ ორი ხაზი ერთმანეთისგან შორდება, დაბრუნდით უკან და დააკავშირეთ წერტილები საპირისპირო მიმართულებით, დაწყებული x = 1 – დან.
- თუ ორი ხაზი ერთმანეთისგან ძალიან შორს არის, სცადეთ გადახტომა და დააკავშიროთ წერტილები უფრო შორს, მაგალითად x = 10.
ნაბიჯი 7. იპოვეთ პასუხი კვეთაზე
მას შემდეგ რაც ორი ხაზი იკვეთება, x და y მნიშვნელობა არის პასუხი თქვენს პრობლემაზე. თუ გაგიმართლათ, პასუხი იქნება მთელი რიცხვი. მაგალითად, ჩვენს მაგალითში ორი ხაზი იკვეთება წერტილში (2, 1) ასე რომ პასუხი არის x = 2 და y = 1 რა განტოლების ზოგიერთ სისტემაში, წერტილი, სადაც ხაზი იკვეთება არის ორ მთლიანი რიცხვის შორის და თუ გრაფიკი არ არის ძალიან ზუსტი, ძნელია ზუსტად განსაზღვრო, სად არის x და y მნიშვნელობები კვეთაზე. თუ ნებადართულია, შეგიძლიათ ჩაწეროთ „x არის 1 -დან 2 -მდე“, ან გამოიყენოთ შემცვლელის ან გამორიცხვის მეთოდი პასუხის მოსაძებნად.
Რჩევები
- თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ თქვენი ნამუშევარი პასუხების ორიგინალურ განტოლებაში ჩართვით. თუ განტოლება აღმოჩნდება ჭეშმარიტი (მაგ. 3 = 3), ეს ნიშნავს რომ თქვენი პასუხი სწორია.
- ელიმინაციის მეთოდის გამოყენებისას, ზოგჯერ თქვენ უნდა გაამრავლოთ განტოლება უარყოფით რიცხვზე ისე, რომ ცვლადებმა შეძლონ ერთმანეთის გაუქმება.
