როგორ გავამარტივოთ მათემატიკური განტოლებები: 13 ნაბიჯი

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-15 08:18

მათემატიკის სტუდენტებს ხშირად სთხოვენ ჩაწერონ თავიანთი პასუხები უმარტივესი ფორმით - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩაწერეთ პასუხები რაც შეიძლება ელეგანტურად. მიუხედავად იმისა, რომ გრძელი, მკაცრი და მოკლე, ისევე როგორც ელეგანტური, განტოლებები ტექნიკურად ერთი და იგივეა, ხშირად, მათემატიკის პრობლემა არ ითვლება სრულყოფილად, თუ საბოლოო პასუხი არ შემცირდება მის უმარტივეს ფორმაში. ასევე, პასუხი მისი უმარტივესი ფორმით არის თითქმის ყოველთვის ყველაზე მარტივი განტოლება. ამ მიზეზით, განტოლების გამარტივების სწავლა მნიშვნელოვანი უნარია მათემატიკოსებისთვის.

ნაბიჯი

მეთოდი 1 დან 2: ოპერაციის თანმიმდევრობის გამოყენება

ნაბიჯი 1. იცოდეთ ოპერაციების თანმიმდევრობა

როდესაც ამარტივებთ მათემატიკურ გამონათქვამებს, თქვენ არ შეგიძლიათ მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ იმუშაოთ, გაამრავლოთ, დაამატოთ, გამოაკლოთ და ასე შემდეგ მარცხნიდან მარჯვნივ. ზოგიერთი მათემატიკური ოპერაცია უნდა იყოს უპირატესობა სხვაზე და უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში. სინამდვილეში, ოპერაციების არასწორი წესრიგის გამოყენებამ შეიძლება არასწორი პასუხი გასცეს. ოპერაციების თანმიმდევრობაა: ნაწილი ფრჩხილებში, ექსპონენტი, გამრავლება, გაყოფა, შეკრება და ბოლოს, გამოკლება. შემოკლებით შეგიძლიათ დაიმახსოვროთ, რადგან დედა არ არის კარგი, ბოროტი და ღარიბი.

გაითვალისწინეთ, რომ სანამ ოპერაციების წესრიგის ძირითად ცოდნას შეუძლია გაამარტივოს ყველაზე ძირითადი განტოლებები, სპეციალური ტექნიკაა საჭირო მრავალი ცვლადი განტოლების გასამარტივებლად, მათ შორის თითქმის ყველა მრავალწევრის ჩათვლით. დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ შემდეგი მეორე მეთოდი

ნაბიჯი 2. დაიწყეთ ფრჩხილებში ყველა მონაკვეთის დასრულებით

მათემატიკაში ფრჩხილები მიუთითებენ, რომ შიდა ნაწილი გამოითვლება ცალკე გამოთქმისაგან, რომელიც ფრჩხილის გარეთ არის. არ აქვს მნიშვნელობა რა ოპერაციებია ფრჩხილებში, დარწმუნდით, რომ შეავსეთ ნაწილი ფრჩხილებში, როდესაც თქვენ ცდილობთ განტოლების გამარტივებას. მაგალითად, ფრჩხილებში, თქვენ უნდა გამრავლდეთ დამატებამდე, გამოკლებაზე და ასე შემდეგ.

• მაგალითად, შევეცადოთ გავამარტივოთ განტოლება 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). ამ განტოლებაში, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ ნაწილი ფრჩხილებში, კერძოდ 5 + 2 და 3 + 4/2, პირველ რიგში. 5 + 2 =

  ნაბიჯი 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  ნაბიჯი 5

  მეორე ფრჩხილის ნაწილი გამარტივებულია 5 -მდე, რადგან ოპერაციების თანმიმდევრობით, ჩვენ ვყოფთ 4/2 -ს ჯერ ფრჩხილებში. თუ ჩვენ უბრალოდ ვმუშაობთ მარცხნიდან მარჯვნივ, ჩვენ პირველს ვამატებთ 3 -ს და 4 -ს, შემდეგ ვყოფთ 2 -ზე და ვაძლევთ არასწორ პასუხს 7/2

• შენიშვნა - თუ ფრჩხილებში რამდენიმე ფრჩხილია, შეავსეთ განყოფილება შიდა ფრჩხილში, შემდეგ მეორე შიდა და ასე შემდეგ.

ნაბიჯი 3. ამოხსენით ექსპონენტი

ფრჩხილების დასრულების შემდეგ, შემდეგი, ამოხსენით თქვენი განტოლების გამომხატველი. ამის გახსენება ადვილია, რადგან ექსპონენტებში, ძირითადი რიცხვი და სიმძლავრის ძალა ერთმანეთის გვერდითაა. იპოვეთ პასუხი ექსპონენტის თითოეულ ნაწილზე, შემდეგ კი შეაერთეთ თქვენი პასუხი განტოლებაში, რომ შეცვალოთ ექსპონენტის ნაწილი.

ფრჩხილებში ნაწილის დასრულების შემდეგ, ჩვენი მაგალითი განტოლება ხდება 2x + 4 (7) + 3² - 5 ჩვენს მაგალითში ერთადერთი ექსპონენციალურია 3², რაც უდრის 9. დაამატეთ ეს შედეგი თქვენს განტოლებას, რომ შეცვალოთ 3² შედეგად 2x + 4 (7) + 9 - 5.

ნაბიჯი 4. ამოხსენით გამრავლების პრობლემა თქვენს განტოლებაში

შემდეგი, გააკეთეთ რაც უნდა გამრავლება თქვენს განტოლებაში. გახსოვდეთ, რომ გამრავლება შეიძლება დაიწეროს რამდენიმე გზით. × წერტილი, ან ვარსკვლავის სიმბოლო არის გამრავლების ჩვენების გზა. თუმცა, რიცხვი ფრჩხილის გვერდით ან ცვლადი (როგორიცაა 4 (x)) ასევე წარმოადგენს გამრავლებას.

• ჩვენს ამოცანაში გამრავლების ორი ნაწილია: 2x (2x არის 2 × x) და 4 (7). ჩვენ არ ვიცით x- ის მნიშვნელობა, ამიტომ მას ვტოვებთ 2x- ზე. 4 (7) = 4 × 7 =

  ნაბიჯი 28.რა ჩვენ შეგვიძლია გადავაწეროთ ჩვენი განტოლება 2x + 28 + 9 - 5.

ნაბიჯი 5. განაგრძეთ გაყოფა

როდესაც თქვენ ეძებთ გაყოფის პრობლემებს თქვენს განტოლებებში, გაითვალისწინეთ, რომ გამრავლების მსგავსად, გაყოფა შეიძლება დაიწეროს სხვადასხვა გზით. ერთ -ერთი მათგანია სიმბოლო, მაგრამ გახსოვდეთ, რომ წრფეები და ტირეები, როგორიცაა წილადებში (მაგ. 3/4) ასევე მიუთითებს გაყოფაზე.

რადგან ჩვენ უკვე გავაკეთეთ გაყოფა (4/2), როდესაც ნაწილები ფრჩხილებში დავამთავრეთ. ჩვენს მაგალითს უკვე არ აქვს გაყოფის პრობლემა, ამიტომ ჩვენ გამოვტოვებთ ამ ნაბიჯს. ეს გვიჩვენებს მნიშვნელოვან პუნქტს - თქვენ არ გჭირდებათ ყველა ოპერაციის შესრულება გამოთქმის გამარტივებისას, მხოლოდ თქვენი პრობლემის შემცველი ოპერაციები

ნაბიჯი 6. შემდეგი, დაამატეთ რაც არის თქვენს განტოლებაში

თქვენ შეგიძლიათ იმუშაოთ მარცხნიდან მარჯვნივ, მაგრამ უფრო ადვილია პირველი რიცხვების დამატება. მაგალითად, პრობლემა 49 + 29 + 51 + 71, უფრო ადვილია დაამატოთ 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 და 100 + 100 = 200, ვიდრე 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 და 129 + 71 = 200.

ჩვენი მაგალითი განტოლება ნაწილობრივ გამარტივდა 2x + 28 + 9 - 5. ახლა ჩვენ უნდა შევაჯამოთ რიცხვები, რომელთა შეჯამებაც შეგვიძლია - მოდით შევხედოთ დამატების თითოეულ პრობლემას მარცხნიდან მარჯვნივ. ჩვენ არ შეგვიძლია დავამატოთ 2x და 28, რადგან ჩვენ არ ვიცით x- ის მნიშვნელობა, ამიტომ ჩვენ უბრალოდ გამოვტოვებთ მას. 28 + 9 = 37, შეიძლება გადაწერილი იყოს 2x + 37 - 5.

ნაბიჯი 7. ოპერაციების თანმიმდევრობის ბოლო ნაბიჯი არის გამოკლება

განაგრძეთ თქვენი პრობლემა გამოკლების დარჩენილი პრობლემების გადაჭრით. თქვენ შეიძლება გქონდეთ წარმოდგენა გამოკლებაზე, როგორც ამ რიცხვში უარყოფითი რიცხვების დამატება, ან იგივე ნაბიჯების გამოყენებით, როგორც ჩვეულებრივი დამატების პრობლემა - თქვენი არჩევანი გავლენას არ მოახდენს თქვენს პასუხზე.

• ჩვენს პრობლემაში, 2x + 37 - 5, არის მხოლოდ ერთი გამოკლების პრობლემა. 37 - 5 =

  ნაბიჯი 32.

ნაბიჯი 8. შეამოწმეთ თქვენი განტოლება

ოპერაციების რიგის გამოყენებით ამოხსნის შემდეგ, თქვენი განტოლება უნდა გამარტივდეს მის უმარტივეს ფორმაში. თუმცა, თუ თქვენი განტოლება შეიცავს ერთ ან მეტ ცვლადს, გესმით, რომ თქვენს ცვლადებზე მუშაობა არ არის საჭირო. ცვლადის გასამარტივებლად, თქვენ ან უნდა იპოვოთ თქვენი ცვლადის მნიშვნელობა, ან გამოიყენოთ სპეციალური ტექნიკა გამოხატვის გასამარტივებლად (იხ. ნაბიჯი ქვემოთ).

ჩვენი საბოლოო პასუხი არის 2x + 32. ჩვენ ვერ გადავწყვეტთ ამ საბოლოო დამატებას, თუ არ ვიცით x მნიშვნელობა, მაგრამ რომ ვიცოდეთ მისი მნიშვნელობა, ამ განტოლების ამოხსნა გაცილებით ადვილი იქნებოდა, ვიდრე ჩვენი გრძელი ორიგინალური განტოლება

მეთოდი 2 დან 2: რთული განტოლებების გამარტივება

ნაბიჯი 1. დაამატეთ ნაწილები, რომლებსაც აქვთ იგივე ცვლადი

ცვლადი განტოლების ამოხსნისას გახსოვდეთ, რომ ნაწილები, რომლებსაც აქვთ ერთი და იგივე ცვლადი და გამომხატველი (ან იგივე ცვლადი), შეიძლება დაემატოს და გამოაკლოს ნორმალური რიცხვების მსგავსად. ამ ნაწილს უნდა ჰქონდეს იგივე ცვლადი და მაჩვენებელი. მაგალითად, შეიძლება დაემატოს 7x და 5x, მაგრამ 7x და 5x² არ შეიძლება დაემატოს.

• ეს წესი ვრცელდება ზოგიერთ ცვლადზე. მაგალითად, 2xy² შეიძლება შეჯამდეს -3xy², მაგრამ არ შეიძლება შეჯამდეს -3x²y ან -3y².
• იხილეთ განტოლება x² + 3x + 6 - 8x. ამ განტოლებაში ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ 3x და -8x, რადგან მათ აქვთ ერთი და იგივე ცვლადი და გამომხატველი. მარტივი განტოლება ხდება x² - 5x + 6.

ნაბიჯი 2. გაამარტივეთ წილადური რიცხვები ფაქტორების გაყოფით ან გადაკვეთით

წილადები, რომლებსაც აქვთ რიცხვები (და არა ცვლადი) მრიცხველსა და მნიშვნელში, შეიძლება გამარტივდეს რამდენიმე გზით. პირველი და, ალბათ, ყველაზე იოლი, არის წილადის წარმოდგენა გაყოფის პრობლემად და მნიშვნელის გაყოფა მრიცხველის მიერ. ასევე, გამრავლების ნებისმიერი ფაქტორი, რომელიც ჩნდება მრიცხველსა და მნიშვნელში, შეიძლება გადაკვეთილი იყოს, რადგან ორი ფაქტორის გაყოფა იწვევს რიცხვს 1.

მაგალითად, შეხედეთ წილადს 36/60. თუ ჩვენ გვაქვს კალკულატორი, შეგვიძლია გავყოთ იგი პასუხის მისაღებად 0, 6 რა თუმცა, თუ ჩვენ არ გვაქვს კალკულატორი, ჩვენ მაინც შეგვიძლია მისი გამარტივება იგივე ფაქტორების გადაკვეთის გზით. 36/60 წარმოსახვის კიდევ ერთი გზაა (6 × 6)/(6 × 10). ეს წილადი შეიძლება დაიწეროს როგორც 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, ასე რომ, ჩვენი ფრაქცია რეალურად არის 1 × 6/10 = 6/10. თუმცა, ჩვენ ჯერ არ დავასრულეთ - 6 – სა და 10 – ს აქვს ერთი და იგივე ფაქტორი, რაც არის 2. ზემოაღნიშნული მეთოდის გამეორებით, შედეგი ხდება 3/5.

ნაბიჯი 3. ცვლადი წილადზე გადაკვეთეთ ცვლადის ყველა ფაქტორი

წილადის სახით ცვალებად განტოლებებს აქვთ გამარტივების უნიკალური გზა. ჩვეულებრივი წილადების მსგავსად, ცვლადი წილადი საშუალებას გაძლევთ აღმოფხვრას ის ფაქტორები, რომლებიც მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც საერთო აქვთ. თუმცა, ცვლადი წილადებში ეს ფაქტორები შეიძლება იყოს ფაქტობრივი ცვლადის რიცხვები და განტოლებები.

• ვთქვათ განტოლება (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). ეს წილადი შეიძლება დაიწეროს როგორც (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x გამოჩნდება როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში. ამ ფაქტორების განტოლებიდან გადაკვეთით შედეგი ხდება (x + 1)/(5 - x). იგივე როგორც გამოხატვაში (2x² + 4x + 6)/2, რადგან თითოეული ნაწილი იყოფა 2 -ზე, ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება როგორც (2 (x² + 2x + 3))/2 და შემდეგ გამარტივება x- მდე² + 2x + 3.
• გაითვალისწინეთ, რომ თქვენ არ შეგიძლიათ გადაკვეთოთ ყველა მონაკვეთი - შეგიძლიათ გადაკვეთოთ მხოლოდ გამრავლების ფაქტორები, რომლებიც ჩნდება მრიცხველსა და მნიშვნელში. მაგალითად, გამოთქმაში (x (x + 2))/x, x შეიძლება გადაიკვეთოს როგორც მრიცხველიდან, ასევე მნიშვნელიდან, ასე რომ ხდება (x + 2)/1 = (x + 2). თუმცა, (x + 2)/x არ შეიძლება გადაკვეთა 2/1 = 2 -მდე.

ნაბიჯი 4. ფრჩხილებში გაამრავლეთ ნაწილი მუდმივზე

ფრჩხილებში ცვლადის მუდმივის გამრავლებით, ზოგჯერ ფრჩხილებში თითოეული ნაწილის გამრავლებით მუდმივზე შეიძლება მივიღოთ უფრო მარტივი განტოლება. ეს ეხება მუდმივებს, რომლებიც შედგება მხოლოდ რიცხვებისა და მუდმივებისაგან, რომლებსაც აქვთ ცვლადი.

• მაგალითად, განტოლება 3 (x² + 8) შეიძლება გამარტივდეს 3x- მდე² + 24, ხოლო 3x (x² + 8) შეიძლება გამარტივდეს 3x- მდე³ + 24x
• გაითვალისწინეთ, რომ ზოგიერთ შემთხვევაში, როგორიცაა ცვლადი წილადები, ფრჩხილებში არსებული მუდმივები შეიძლება გადაიკვეთოს ისე, რომ მათ არ სჭირდებათ ფრჩხილებში არსებული ნაწილის გამრავლება. წილადებში (3 (x² + 8))/3x, მაგალითად, კოეფიციენტი 3 გამოჩნდება როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია მისი გადაკვეთა და გამოხატვის გამარტივება (x² + 8)/x ამ გამოთქმასთან მუშაობა უფრო მარტივი და ადვილია, ვიდრე (3x³ + 24x)/3x, რაც არის შედეგი, რომელსაც მივიღებთ თუ გავამრავლებთ.

ნაბიჯი 5. გაამარტივეთ ფაქტორინგი

ფაქტორინგი არის ტექნიკა, რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას ზოგიერთი ცვლადი გამოხატვის გასამარტივებლად, მათ შორის მრავალწევრების ჩათვლით. განიხილეთ ფაქტორინგი, როგორც ფრჩხილებში მოცემული ნაწილის გამრავლების საპირისპირო ნაბიჯი ზემოთ მოცემულ საფეხურზე - ზოგჯერ გამოთქმა შეიძლება ჩაითვალოს როგორც ორ ნაწილად გამრავლებული ერთმანეთზე და არა ერთეულ გამოხატულებაზე. ეს განსაკუთრებით ეხება იმ შემთხვევაში, თუ განტოლების ფაქტორინგი საშუალებას გაძლევთ გადაკვეთოთ მისი ერთი ნაწილი (როგორც წილადებში). გარკვეულ შემთხვევებში (ხშირად კვადრატული განტოლებებით), ფაქტორინგმა შეიძლება მოგცეთ საშუალება იპოვოთ განტოლების გადაწყვეტა.

• მოდით, კვლავ მივიღოთ გამოთქმა x² - 5x + 6. ეს გამოთქმა შეიძლება ფაქტორირებული იყოს (x - 3) (x - 2). ასე რომ, თუ x² - 5x + 6 არის მოცემული განტოლების მრიცხველი, სადაც მნიშვნელს აქვს ერთ – ერთი ეს ფაქტორი, როგორც გამოთქმაში (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), ჩვენ შეიძლება გვსურდეს მისი დაწერა ფაქტორული ფორმით, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვკვეთოთ ფაქტორი მნიშვნელით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) ნაწილში (x - 2) შეიძლება გადაკვეთა იყოს (x - 3)/2.

• როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, კიდევ ერთი მიზეზი, რის გამოც შეიძლება დაგჭირდეთ თქვენი განტოლების ფაქტორიზაცია არის ის, რომ ფაქტორინგს შეუძლია გასცეს პასუხი გარკვეულ განტოლებებზე, განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, თუ ისინი 0 – ის ტოლია. მაგალითად, განტოლება x² - 5x + 6 = 0. ფაქტორინგი იძლევა (x - 3) (x - 2) = 0. ვინაიდან ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე უდრის ნულს, ჩვენ ვიცით, რომ თუ ფრჩხილების რომელიმე ნაწილი ნულის ტოლია, ყველა განტოლება მარცხნიდან ტოლობის ნიშანი, ასევე ნულის ტოლია. Ასე რომ

  ნაბიჯი 3. და

  ნაბიჯი 2. არის განტოლების ორი პასუხი.