რაციონალური განტოლება არის წილადი, რომელსაც აქვს ერთი ან მეტი ცვლადი მრიცხველში ან მნიშვნელში. რაციონალური განტოლება არის ნებისმიერი წილადი, რომელიც მოიცავს მინიმუმ ერთ რაციონალურ განტოლებას. ჩვეულებრივი ალგებრული განტოლებების მსგავსად, რაციონალური განტოლებები წყდება განტოლების ორივე მხარეს ერთი და იგივე ოპერაციის შესრულებით, სანამ ცვლადები არ გადავა განტოლების ორივე მხარეს. ორი სპეციალური ტექნიკა, ჯვარედინი გამრავლება და უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნა, არის ძალიან სასარგებლო გზა ცვლადების გადასატანად და რაციონალური განტოლებების ამოხსნისათვის.
ნაბიჯი
მეთოდი 1 დან 2: ჯვარედინი გამრავლება
ნაბიჯი 1. საჭიროების შემთხვევაში, გადააკეთეთ თქვენი განტოლება, რათა მიიღოთ განტოლების ერთ მხარეს ფრაქცია
ჯვარედინი გამრავლება არის რაციონალური განტოლების ამოხსნის სწრაფი და მარტივი გზა. სამწუხაროდ, ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ რაციონალური განტოლებებისთვის, რომლებიც შეიცავს მინიმუმ ერთ რაციონალურ განტოლებას ან წილადს განტოლების თითოეულ მხარეს. თუ თქვენი განტოლება არ აკმაყოფილებს ამ ჯვარედინი პროდუქტის მოთხოვნებს, შეიძლება დაგჭირდეთ ალგებრული ოპერაციების გამოყენება ნაწილების სწორ ადგილას გადასატანად.
-
მაგალითად, განტოლება (x + 3)/4-x/(-2) = 0 ადვილად შეიძლება ჩაითვალოს პროდუქტის ჯვარედინი ფორმით, თუ განტოლების ორივე მხარეს დაამატებთ x/(-2), ისე რომ ხდება (x + 3)/4 = x/(-2).
გაითვალისწინეთ, რომ ათობითი და მთელი რიცხვები შეიძლება გადაკეთდეს წილადებად, მნიშვნელის მიცემით 1. (x + 3)/4 - 2, 5 = 5, მაგალითად, შეიძლება გადაწერილი იყოს როგორც (x + 3)/4 = 7, 5/ 1, რაც აკმაყოფილებს ჯვარედინი გამრავლების პირობას
- ზოგიერთი რაციონალური განტოლება არ შეიძლება ადვილად შემცირდეს იმ ფორმამდე, რომელსაც აქვს თითო ფრაქცია ან რაციონალური განტოლება თითოეულ მხარეს. ასეთ შემთხვევებში გამოიყენეთ იგივე მნიშვნელიანი მიდგომა.
ნაბიჯი 2. ჯვრის გამრავლება
ჯვრის გამრავლება ნიშნავს წილადის ერთ -ერთი მრიცხველის გამრავლებას სხვა წილადის მნიშვნელზე და პირიქით. გაამრავლეთ წილადის მრიცხველი მარცხნივ, წილადის მნიშვნელი მარჯვნივ. გაიმეორეთ მარჯვენა მნიშვნელით მარცხენა მნიშვნელით.
ჯვრის გამრავლება მუშაობს ძირითადი ალგებრული პრინციპების მიხედვით. რაციონალური განტოლებები და სხვა წილადები შეიძლება გადავაქციოთ არა წილადებად მნიშვნელით გამრავლებით. ჯვარედინი პროდუქტი არის სწრაფი გზა განტოლების ორივე მხარის გამრავლებისათვის. Არ დაიჯერო? სცადეთ - თქვენ იგივე შედეგს მიიღებთ მისი გამარტივების შემდეგ
ნაბიჯი 3. გახადეთ ორი პროდუქტი ერთმანეთის ტოლი
ჯვარედინი გამრავლების შემდეგ მიიღებთ ორ გამრავლების შედეგს. გახადეთ ისინი ერთმანეთის ტოლი და გაამარტივეთ, რომ განტოლება მაქსიმალურად მარტივი გახადოთ.
მაგალითად, თუ თქვენი საწყისი რაციონალური განტოლება იყო (x+3)/4 = x/(-2), ჯვრის გამრავლების შემდეგ თქვენი ახალი განტოლება გახდება -2 (x+3) = 4x. თუ გსურთ, ასევე შეგიძლიათ ჩაწეროთ -2x - 6 = 4x
ნაბიჯი 4. იპოვეთ თქვენი ცვლადის მნიშვნელობა
გამოიყენეთ ალგებრული ოპერაციები, რომ იპოვოთ თქვენი განტოლების ცვლადის მნიშვნელობა. გახსოვდეთ, რომ თუ x გამოჩნდება განტოლების ორივე მხარეს, თქვენ უნდა დაამატოთ ან გამოაკლოთ x განტოლების ორივე მხრიდან, რომ დატოვოთ x განტოლების მხოლოდ ერთ მხარეს.
ჩვენს მაგალითში, ჩვენ შეგვიძლია განტოლების ორივე მხარე გავყოთ -2 -ზე, ასე რომ x+3 = -2x. X- ს გამოკლება ორივე მხრიდან იძლევა 3 = -3x. დაბოლოს, ორივე მხარის -3 -ზე გაყოფით, შედეგი ხდება -1 = x, რომელიც შეიძლება დაიწეროს როგორც x = -1. ჩვენ ვიპოვნეთ x- ის მნიშვნელობა, ამოვხსნით რაციონალურ განტოლებას
მეთოდი 2 – დან 2 – დან: იპოვეთ ყველაზე მცირე საერთო მნიშვნელი
ნაბიჯი 1. იცოდეთ ერთი და იგივე უმცირესი მნიშვნელის გამოყენების ზუსტი დრო
ერთი და იგივე უმცირესი მნიშვნელი შეიძლება გამოყენებულ იქნას რაციონალური განტოლებების გასამარტივებლად, რაც მათ ცვლადი მნიშვნელობების საძიებლად აქცევს. უმცირესი საერთო მნიშვნელის პოვნა კარგი იდეაა, თუ თქვენი რაციონალური განტოლება არ შეიძლება ადვილად დაიწეროს განტოლების თითოეულ მხარეს ერთი წილის (და მხოლოდ ერთი წილის) მიხედვით. სამი ან მეტი ნაწილის მქონე რაციონალური განტოლებების ამოხსნისთვის, ყველაზე მცირე საერთო მნიშვნელია. ამასთან, რაციონალური განტოლების მხოლოდ ორი ნაწილის გადასაჭრელად, უფრო სწრაფია ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენება.
ნაბიჯი 2. შეამოწმეთ თითოეული წილადის მნიშვნელი
დაასახელეთ ის უმცირესი რიცხვი, რომლის გაყოფა შეუძლია თითოეულ მნიშვნელს და გამოიმუშავებს მთელ რიცხვს. ეს რიცხვი თქვენი განტოლების უმცირესი საერთო მნიშვნელია.
- ზოგჯერ აშკარად ჩანს უმცირესი საერთო მნიშვნელი - ანუ ის უმცირესი რიცხვი, რომელსაც აქვს მნიშვნელი ყველა ფაქტორი. მაგალითად, თუ თქვენი განტოლებაა x/3 + 1/2 = (3x + 1)/6, ძნელი არ არის დავინახოთ ყველაზე პატარა რიცხვი, რომელსაც აქვს კოეფიციენტი 3, 2 და 6, რაც არის რიცხვი 6.
- თუმცა, ხშირად, რაციონალური განტოლების უმცირესი საერთო მნიშვნელი მკაფიოდ არ ჩანს. მსგავს შემთხვევაში, სცადეთ უფრო დიდი მნიშვნელის ჯერადი რიცხვის შემოწმება, სანამ არ იპოვით რიცხვს, რომელსაც აქვს ყველა სხვა მცირე მნიშვნელის ფაქტორი. ხშირად, ყველაზე ნაკლებად საერთო მნიშვნელი არის ორი მნიშვნელის პროდუქტი. მაგალითად, განტოლებაში x/8 + 2/6 = (x-3)/9, ყველაზე ნაკლებად საერთო მნიშვნელი არის 8*9 = 72.
- თუ თქვენი ფრაქციის მნიშვნელს აქვს ცვლადი, ეს პროცესი უფრო რთულია, მაგრამ შესაძლებელია. მსგავს შემთხვევაში, ყველაზე ნაკლებად საერთო მნიშვნელია განტოლება (ცვლადთან ერთად), რომელიც იყოფა ყველა სხვა მნიშვნელის მიერ. მაგალითად განტოლებაში 5/(x-1) = 1/x + 2/(3x), ყველაზე ნაკლებად საერთო მნიშვნელი არის 3x (x-1), რადგან ნებისმიერ მნიშვნელს შეუძლია მისი გაყოფა-გაყოფა (x-1) იძლევა 3x, 3x -ზე გაყოფა იძლევა (x-1) და x- ზე გაყოფას 3 (x-1).
ნაბიჯი 3. რაციონალურ განტოლებაში თითოეული წილადი გავამრავლოთ 1 -ით
თითოეული ნაწილის 1 -ზე გამრავლება უსარგებლო ჩანს. მაგრამ აქ არის ხრიკი. 1 შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ერთნაირია როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, როგორიცაა -2/2 და 3/3, რაც არის 1 – ის ჩაწერის სწორი გზა. ეს მეთოდი იყენებს ალტერნატიული განსაზღვრების უპირატესობას. გაამრავლეთ რაციონალური განტოლების თითოეული წილადი 1 -ით, ჩაწერეთ რიცხვი 1, რომელიც მნიშვნელზე გამრავლებისას იძლევა ყველაზე პატარა საერთო მნიშვნელს.
- ჩვენს ძირითად მაგალითში, ჩვენ გავამრავლებთ x/3 – ს 2/2– ზე, რომ მივიღოთ 2x/6 და გავამრავლოთ 1/2– ზე 3/3– ით, რომ მივიღოთ 3/6. 2x + 1/6 უკვე აქვს ერთი და იგივე უმცირესი მნიშვნელი, რომელიც არის 6, ასე რომ შეგვიძლია გავამრავლოთ 1/1 ან დავტოვოთ იგი მარტო.
- ჩვენს მაგალითში წილადის მნიშვნელის ცვლადით, პროცესი ცოტა უფრო რთულია. ვინაიდან ჩვენი უმცირესი მნიშვნელი არის 3x (x-1), ჩვენ ვამრავლებთ თითოეულ რაციონალურ განტოლებას რაღაცაზე, რაც აბრუნებს 3x (x-1). ჩვენ გავამრავლებთ 5/(x-1) (3x)/(3x) რომელიც იძლევა 5 (3x)/(3x) (x-1), გავამრავლებთ 1/x 3-ზე (x-1)/3 (x- 1) რომელიც იძლევა 3 (x-1)/3x (x-1) და გამრავლებით 2/(3x) (x-1)/(x-1) იძლევა 2 (x-1)/3x (x- 1).
ნაბიჯი 4. გაამარტივეთ და იპოვეთ x- ის მნიშვნელობა
ახლა, ვინაიდან თქვენი რაციონალური განტოლების ყველა ნაწილს აქვს ერთი და იგივე მნიშვნელი, შეგიძლიათ ამოიღოთ მნიშვნელი თქვენი განტოლებიდან და ამოხსნათ მრიცხველისთვის. გამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე მრიცხველის მნიშვნელობის მისაღებად. შემდეგ გამოიყენეთ ალგებრული ოპერაციები, რათა იპოვოთ x (ან რისი ცვლადი გსურთ ამოხსნათ) განტოლების ერთ მხარეს.
- ჩვენს ძირითად მაგალითში, ყველა ნაწილის ალტერნატიული ფორმით 1 გამრავლების შემდეგ, ვიღებთ 2x/6 + 3/6 = (3x + 1)/6. ორი წილადი შეიძლება დაემატოს, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე მნიშვნელი, ასე რომ ჩვენ შეგვიძლია გავამარტივოთ ეს განტოლება (2x+3)/6 = (3x+1)/6 მნიშვნელობის შეცვლის გარეშე. გავამრავლოთ ორივე მხარე 6 -ით მნიშვნელის მოსაშორებლად, ასე რომ შედეგი არის 2x+3 = 3x+1. გამოვაკლოთ 1 ორივე მხრიდან, რომ მივიღოთ 2x+2 = 3x, და გამოვაკლოთ 2x ორივე მხრიდან მივიღოთ 2 = x, რომელიც შეიძლება დაიწეროს როგორც x = 2.
- ჩვენს მაგალითში ცვლადი მნიშვნელში, ჩვენი განტოლება 1-ზე გამრავლების შემდეგ ხდება 5 (3x)/(3x) (x-1) = 3 (x-1)/3x (x-1) + 2 (x-1) /3x (x-1). ყველა ნაწილის გამრავლება ერთსა და იმავე უმცირეს მნიშვნელზე, რაც საშუალებას გვაძლევს გამოტოვოთ მნიშვნელი, ხდება 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). ეს ასევე ეხება 5x = 3x -3 + 2x -2, რაც ამარტივებს 15x = x -5. x- ს გამოკლება ორივე მხრიდან იძლევა 14x = -5, რაც, საბოლოოდ, ამარტივებს x = -5/14.
Რჩევები
- როდესაც თქვენ გადაჭრით ცვლადს, შეამოწმეთ თქვენი პასუხი ცვლადის მნიშვნელობის შეყვანის გზით საწყის განტოლებაში. თუ თქვენი ცვლადი მნიშვნელობა სწორია, შეგიძლიათ გაამარტივოთ თქვენი საწყისი განტოლება მარტივ განცხადებად, რომელიც ყოველთვის უდრის 1 = 1 -ს.
- გაითვალისწინეთ, რომ თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ნებისმიერი პოლინომი რაციონალური განტოლების სახით; დააყენეთ ის მნიშვნელზე 1. ასე რომ, x+3 და (x+3)/1 აქვთ იგივე მნიშვნელობა, მაგრამ მეორე განტოლება შეიძლება კლასიფიცირდეს როგორც რაციონალური განტოლება, რადგან ის დაწერილია წილადის სახით.
