ვექტორების დამატების ან გამოკლების 3 გზა

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-15 08:18

ვექტორი არის ფიზიკური რაოდენობა, რომელსაც აქვს როგორც სიდიდე, ასევე მიმართულება (მაგ. სიჩქარე, აჩქარება და გადაადგილება), განსხვავებით სკალარისა, რომელიც შედგება მხოლოდ სიდიდისგან (მაგ. სიჩქარე, მანძილი ან ენერგია). თუ სკალარების დამატება შესაძლებელია სიდიდეების დამატებით (მაგ. 5 კჯ სამუშაო პლუს 6 კჯ სამუშაო უდრის 11 კჯ კვ), ვექტორების დამატება ან გამოკლება ცოტა რთულია. იხილეთ ნაბიჯი 1 ქვემოთ, რომ ისწავლოთ ვექტორების დამატების ან გამოკლების რამდენიმე გზა.

ნაბიჯი

მეთოდი 1 -დან 3 -დან: ვექტორების დამატება და გამოკლება, რომელთა კომპონენტები ცნობილია

ნაბიჯი 1. ჩაწერეთ ვექტორის განზომილებიანი კომპონენტები ვექტორულ აღნიშვნაში

ვინაიდან ვექტორებს აქვთ სიდიდე და მიმართულება, ისინი ჩვეულებრივ შეიძლება დაიყოს ნაწილებად x, y და/ან z ზომების საფუძველზე. ეს ზომები ჩვეულებრივ იწერება მსგავსი აღნიშვნებით, რათა აღწეროს წერტილი კოორდინატთა სისტემაში (მაგ. და სხვა). თუ იცით ეს ნაწილი, ვექტორების დამატება ან გამოკლება ძალიან ადვილია, უბრალოდ დაამატეთ ან გამოაკელით მათი x, y და z კოორდინატები.

• გაითვალისწინეთ, არის თუ არა ვექტორის ზომები 1, 2 ან 3. ამრიგად, ვექტორს შეიძლება ჰქონდეს x, x და y კომპონენტები, ან x, y და z. ჩვენი შემდეგი მაგალითი იყენებს სამგანზომილებიან ვექტორს, მაგრამ პროცესი 1 ან 2 განზომილებიან ვექტორს ჰგავს.
• დავუშვათ, რომ გვაქვს ორი სამგანზომილებიანი ვექტორი, ვექტორი A და ვექტორი B. ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ ეს ვექტორები ვექტორული აღნიშვნის გამოყენებით, როგორიცაა A = და B =, სადაც a1 და a2 არის x კომპონენტები, b1 და b2 არის y კომპონენტები და c1 და c2 არის z კომპონენტები.

ნაბიჯი 2. ორი ვექტორის დასამატებლად დაამატეთ მათი კომპონენტები

თუ ვექტორის ორი კომპონენტი ცნობილია, შეგიძლიათ დაამატოთ ვექტორები თითოეულის კომპონენტების დამატებით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დაამატეთ პირველი ვექტორის x- კომპონენტი მეორე ვექტორის x კომპონენტს და იგივე გააკეთეთ y და z– სთვის. ამ ვექტორების x, y და z კომპონენტების შეკრებისას მიიღებთ პასუხს თქვენი ახალი ვექტორის x, y და z კომპონენტებზე.

• ზოგადად, A+B =.
• დავამატოთ ორი ვექტორი A და B. A = და B =. A + B =, ან.

ნაბიჯი 3. ორივე ვექტორის გამოსაკლებად გამოვაკლოთ მათი კომპონენტები

როგორც მოგვიანებით განვიხილავთ, ერთი ვექტორის გამოკლება მეორისგან შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც მისი საპასუხო ვექტორების დამატება. თუ ორივე ვექტორის კომპონენტები ცნობილია, შესაძლებელია ერთი ვექტორის გამოკლება მეორისგან პირველი კომპონენტის მეორე კომპონენტიდან გამოკლებით (ან ორივეს უარყოფითი კომპონენტის დამატებით).

• ზოგადად, A-B =
• გამოვაკლოთ ორი ვექტორი A და B. A = და B =. A - B =, ან.

3 მეთოდი 2: სურათების დამატება და გამოკლება თავისა და კუდის მეთოდის გამოყენებით

ნაბიჯი 1. განასახიერეთ ვექტორი მისი და კუდის გამოყენებით

ვინაიდან ვექტორებს აქვთ როგორც ზომა, ასევე მიმართულება, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მათ აქვთ კუდი და თავი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორს აქვს საწყისი წერტილი და დასასრული, რომელიც მიუთითებს ვექტორის იმ მიმართულებას, რომლის მანძილი საწყისი წერტილიდან უტოლდება ვექტორის სიდიდეს. როდესაც დახატულია, ვექტორი იღებს ისრის ფორმას. ისრის წვერი არის ვექტორის თავი, ხოლო ვექტორის ხაზის ბოლო არის კუდი.

თუ თქვენ ქმნით ვექტორულ ნახატს განზომილებებით, თქვენ უნდა გაზომოთ და დახაზოთ ყველა კუთხე ზუსტად. სურათის არასწორი კუთხე გავლენას მოახდენს შედეგზე, როდესაც ამ მეთოდის გამოყენებით ორი ვექტორი დაემატება ან გამოაკლდება

ნაბიჯი 2. მეორე ვექტორის დამატება, დახატვა ან გადატანა ისე, რომ კუდი შეხვდეს პირველი ვექტორის თავს

ამას ეწოდება თავსა და კუდის ვექტორების გაერთიანება. თუ თქვენ უბრალოდ ამატებთ ორ ვექტორს, აქ არის ის, რაც უნდა გააკეთოთ შედეგიანი ვექტორის მოძიებამდე.

გაითვალისწინეთ, რომ თანმიმდევრობით, რომელშიც თქვენ დაამატებთ ვექტორებს, არ აქვს მნიშვნელობა, თუ თქვენ იყენებთ ერთსა და იმავე საწყის წერტილს. ვექტორი A + ვექტორი B = ვექტორი B + ველტორ ა

ნაბიჯი 3. გამოკლებისათვის ვექტორს დავუმატოთ უარყოფითი ნიშანი

სურათების გამოყენებით ვექტორების შემცირება ძალიან მარტივია. შეცვალე ვექტორის მიმართულება, მაგრამ შეინარჩუნე ზომა იგივე და დაამატე ვექტორის თავი და კუდი ჩვეულებისამებრ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რომ გამოვაკლოთ ვექტორი, გადაატრიალეთ ის 180^ო და დაამატე.

ნაბიჯი 4. თუ თქვენ დაამატებთ ან გამოაკლებთ ორზე მეტ ვექტორს, შეაერთეთ ყველა ვექტორი თავსა და კუდის თანმიმდევრობით

შერწყმის წესს მნიშვნელობა არ აქვს. ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას ვექტორების რაოდენობის მიუხედავად.

ნაბიჯი 5. დახაზეთ ახალი ვექტორი პირველი ვექტორის კუდიდან ბოლო ვექტორის თავამდე

თქვენ დაამატებთ/გამოკლებთ ორ ვექტორს ან ასი, ვექტორი, რომელიც ვრცელდება თქვენი საწყისი საწყისი წერტილიდან (პირველი ვექტორის კუდიდან) თქვენი ბოლო ვექტორის ბოლო წერტილამდე (თქვენი ბოლო ვექტორის თავი) არის შედეგიანი ვექტორი ან თქვენი ყველა ვექტორის ჯამი. გაითვალისწინეთ, რომ ეს ვექტორი არის ზუსტად იგივე ვექტორი, რომელიც მიიღება ყველა x, y და/ან z კომპონენტების დამატებით.

• თუ ყველა თქვენს ვექტორს მიაპყრობთ ზომას, ყველა კუთხის სწორად გაზომვით, თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ შედეგად ვექტორის სიდიდე სიგრძის გაზომვით. თქვენ ასევე შეგიძლიათ გაზომოთ კუთხე შედეგსა და ნებისმიერ ვექტორს შორის ჰორიზონტალურად ან ვერტიკალურად, რათა დაადგინოთ მისი მიმართულება.
• თუ თქვენ არ გაამახვილებთ თქვენს ყველა ვექტორს ზომამდე, შეიძლება დაგჭირდეთ შედეგის სიდიდის გამოთვლა ტრიგონომეტრიის გამოყენებით. შესაძლოა სინუსისა და კოსინუსის წესები დაგეხმაროს. თუ დაამატებთ ორზე მეტ ვექტორს, სასარგებლოა დაამატოთ პირველი ვექტორი მეორეზე, შემდეგ დაამატოთ მეორის შედეგი მესამეზე და ასე შემდეგ. დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ შემდეგი სექციები.

ნაბიჯი 6. დახაზეთ თქვენი შედეგიანი ვექტორი მისი სიდიდისა და მიმართულების გამოყენებით

ვექტორი განისაზღვრება მისი სიგრძისა და მიმართულების მიხედვით. როგორც ზემოთ, თუ ვხატავთ თქვენს ვექტორს ზუსტად, თქვენი ახალი ვექტორის სიდიდე არის მისი სიგრძე და მისი მიმართულება არის კუთხე ვერტიკალურ ან ჰორიზონტალურ მიმართებასთან შედარებით. გამოიყენეთ ერთეულის ვექტორები, რომლებსაც თქვენ დაამატებთ ან გამოაკლებთ, რათა დაადგინოთ ერთეულები თქვენი შედეგიანი ვექტორის სიდიდისთვის.

მაგალითად, თუ დამატებული ვექტორები წარმოადგენენ სიჩქარეს ms- ში^-1, მაშინ შედეგად მიღებული ვექტორი შეიძლება განისაზღვროს როგორც "სიჩქარე x ms^-1 y– ს წინააღმდეგ ^ო ჰორიზონტალური მიმართულებით.

მეთოდი 3 -დან 3: ვექტორების დამატება და გამოკლება ვექტორული განზომილებიანი კომპონენტების მითითებით

ნაბიჯი 1. გამოიყენეთ ტრიგონომეტრია ვექტორის კომპონენტების დასადგენად

ვექტორის კომპონენტების საპოვნელად, თქვენ ჩვეულებრივ უნდა იცოდეთ მისი სიდიდე და მიმართულება ჰორიზონტალურ ან ვერტიკალურ მიმართებასთან შედარებით და გაიგოთ ტრიგონომეტრია. ორგანზომილებიანი ვექტორის გათვალისწინებით, ჯერ თქვენი ვექტორი განიხილეთ როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა, რომლის ორი გვერდი პარალელურია x და y მიმართულებებისა. ეს ორი მხარე შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც თავ-კუდი ვექტორის კომპონენტები, რომლებიც ემატება თქვენს ვექტორს.

• ორივე მხარის სიგრძე უდრის თქვენი ვექტორის x და y კომპონენტებს და შეიძლება გამოითვალოს ტრიგონომეტრიის გამოყენებით. თუ x არის ვექტორის სიდიდე, ვექტორის კუთხის მიმდებარე გვერდი (ჰორიზონტალურ, ვერტიკალურ და სხვა მიმართულებებთან შედარებით) არის xcos (θ), ხოლო საპირისპირო მხარეა xsin (θ).
• ასევე ძალიან მნიშვნელოვანია გაითვალისწინოთ თქვენი კომპონენტების მიმართულება. თუ კომპონენტი მიუთითებს უარყოფით კოორდინატზე, მას ეძლევა უარყოფითი ნიშანი. მაგალითად, ორგანზომილებიან სიბრტყეში, თუ კომპონენტი მიმართულია მარცხნივ ან ქვევით, ის უარყოფითია.
• მაგალითად, დავუშვათ, რომ ჩვენ გვაქვს ვექტორი სიდიდით 3 და მიმართულება 135^ო ჰორიზონტალურთან შედარებით. ამ ინფორმაციის საშუალებით შეგვიძლია დავადგინოთ, რომ x კომპონენტი არის 3cos (135) = - 2, 12 და y კომპონენტი არის 3sin (135) = 2, 12

ნაბიჯი 2. ორი ან მეტი დაკავშირებული ვექტორის დამატება ან გამოკლება

მას შემდეგ რაც იპოვნეთ ყველა თქვენი ვექტორის კომპონენტები, დაამატეთ ისინი თქვენი ვექტორის კომპონენტების საპოვნელად. პირველი, შეაჯამეთ ჰორიზონტალური კომპონენტების ყველა სიდიდე (რომელიც x- მიმართულების პარალელურია). ცალკე, დაამატეთ ვერტიკალური კომპონენტების ყველა სიდიდე (რომლებიც y- მიმართულების პარალელურია). თუ კომპონენტი უარყოფითია (-), მისი სიდიდე გამოაკლდება და არ ემატება. პასუხი, რომელიც მიიღებთ, არის თქვენი შედეგად მიღებული ვექტორის კომპონენტი.

მაგალითად, ვექტორს ემატება წინა საფეხურიდან,,. ამ შემთხვევაში, შედეგად მიღებული ვექტორი ხდება ან

ნაბიჯი 3. გამოთვალეთ მიღებული ვექტორის სიდიდე პითაგორას თეორემის გამოყენებით

პითაგორას თეორემა გ²= ა²+ბ², გამოიყენება მართკუთხა სამკუთხედის გვერდის სიგრძის საპოვნელად. ვინაიდან ჩვენი შედეგად მიღებული ვექტორისა და მისი კომპონენტების მიერ წარმოქმნილი სამკუთხედი არის მართკუთხა სამკუთხედი, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ის ვექტორის სიგრძისა და სიდიდის საპოვნელად. C როგორც შედეგი ვექტორის სიდიდე, რომელსაც თქვენ ეძებთ, დავუშვათ a არის x კომპონენტის სიდიდე და b არის y კომპონენტის სიდიდე. გადაჭრა ალგებრის გამოყენებით.

• ვექტორის სიდიდის საპოვნელად, რომლის კომპონენტებიც ჩვენ ვეძებდით წინა საფეხურზე, გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა. ამოხსენი შემდეგნაირად:

  • გ²=(3, 66)²+(-6, 88)²
  • გ²=13, 40+47, 33
  • c = √60, 73 = 7, 79

ნაბიჯი 4. გამოთვალეთ შედეგი მიმართულებით Tangent ფუნქციის გამოყენებით

დაბოლოს, იპოვეთ მიმართულების შედეგად მიღებული ვექტორი. გამოიყენეთ ფორმულა = tan^-1(b/a), სადაც არის x ან ჰორიზონტალური მიმართულებით ჩამოყალიბებული კუთხის ზომა, b არის y კომპონენტის ზომა და a არის x კომპონენტის ზომა.

• ჩვენი ვექტორის მიმართულების საპოვნელად გამოიყენეთ = tan^-1(ბ/ა).

  • = რუჯი^-1(-6, 88/3, 66)
  • = რუჯი^-1(-1, 88)
  • = -61, 99^ო

ნაბიჯი 5. დახაზეთ თქვენი შედეგიანი ვექტორი მისი სიდიდისა და მიმართულების მიხედვით

როგორც ზემოთ იყო დაწერილი, ვექტორები განისაზღვრება მათი სიდიდისა და მიმართულების მიხედვით. დარწმუნდით, რომ გამოიყენეთ თქვენი ვექტორის ზომის შესაბამისი ერთეულები.

მაგალითად, თუ ჩვენი ვექტორული მაგალითი წარმოადგენს ძალას (ნიუტონში), მაშინ ჩვენ შეგვიძლია მისი დაწერა "ძალა 7.79 N -61,99 ^ო ჰორიზონტალურამდე ".

Რჩევები

• ვექტორი განსხვავდება დიდიდან.
• ერთიდაიგივე მიმართულების ვექტორების დამატება ან გამოკლება შესაძლებელია მათი სიდიდის დამატებით ან გამოკლებით. Თუ შენ შეჯამება ორი ვექტორი, რომლებიც ერთმანეთის საპირისპიროა, მათი სიდიდეები გამოკლებულია და არ ემატება.
• ვექტორები წარმოდგენილია x i + y j + z k ფორმით, შეიძლება დაემატოს ან გამოაკლოს სამი ერთეული ვექტორის კოეფიციენტების დამატებით ან გამოკლებით. პასუხი ასევე არის i, j და k.
• თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ სამგანზომილებიანი ვექტორის ზომა ფორმულის გამოყენებით a²= ბ²+გ²+დ² სადაც a არის ვექტორის სიდიდე და b, c და d არის თითოეული მიმართულების კომპონენტები.
• სვეტების ვექტორების დამატება და გამოკლება შესაძლებელია თითოეული რიგის მნიშვნელობების დამატებით ან გამოკლებით.