მანძილი, ხშირად მოცემულია ცვლადი „s“, არის სივრცის გაზომვა, რომელიც არის სწორი ხაზი ორ წერტილს შორის. მანძილი შეიძლება ეხებოდეს სივრცეს ორ უძრავ წერტილს შორის (მაგალითად, ადამიანის სიმაღლე არის მანძილი ფეხის ქვედა ნაწილიდან თავამდე) ან ის შეიძლება ეხებოდეს სივრცეს მოძრავი საგნის ამჟამინდელ მდგომარეობასა და საწყისი ადგილმდებარეობა, სადაც ობიექტმა დაიწყო მოძრაობა. დისტანციური პრობლემების უმეტესობა შეიძლება მოგვარდეს განტოლების საშუალებით s = v × t, სადაც s არის მანძილი, v არის საშუალო სიჩქარე და t არის დრო, ან გამოყენება s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2), სად (x1, y1) და (x2, y2) არის ორი წერტილის x და y კოორდინატები.
ნაბიჯი
მეთოდი 1 2 -დან: მანძილის გამოთვლა საშუალო სიჩქარითა და დროით
ნაბიჯი 1. იპოვეთ საშუალო სიჩქარე და დრო
როდესაც მოძრავი ობიექტის მიერ გავლილი მანძილის გამოთვლის მცდელობისას არსებობს ორი ცნობა, რომელიც მნიშვნელოვანია ამ გაანგარიშებისთვის: სიჩქარე (ან სიჩქარე) და დრო რომ მოძრავმა ობიექტმა იმოგზაურა. ამ ინფორმაციის საშუალებით შესაძლებელია გამოვთვალოთ ობიექტის მიერ გავლილი მანძილი ფორმულის გამოყენებით s = v × t.
მანძილის ფორმულის გამოყენების პროცესის უკეთ გასაგებად, მოდით ამ პრობლემის მაგალითის ამოხსნა. ვთქვათ, ჩვენ ვმოგზაურობთ გზაზე 120 მილის სიჩქარით (დაახლოებით 193 კმ საათში) და გვინდა ვიცოდეთ, რა მანძილზე გავდივართ ნახევარ საათში. გამოყენება 120 მილი საათში როგორც საშუალო სიჩქარის მნიშვნელობა და 0.5 საათი როგორც დროის ღირებულება, ჩვენ გადავწყვეტთ ამ პრობლემას მომდევნო ეტაპზე.
ნაბიჯი 2. გაამრავლეთ საშუალო სიჩქარე დროზე
მას შემდეგ რაც ვიცით მოძრავი ობიექტის საშუალო სიჩქარე და მისი გავლილი დრო, გავლილი მანძილის გამოთვლა შედარებით ადვილია. უბრალოდ გაამრავლეთ ორი მნიშვნელობა, რომ იპოვოთ პასუხი.
- ამასთან, გაითვალისწინეთ, რომ თუ საშუალო სიჩქარის მნიშვნელობაში გამოყენებული დროის ერთეული განსხვავდება დროის მნიშვნელობისგან, თქვენ უნდა შეცვალოთ ერთი შესატყვისი. მაგალითად, თუ ჩვენ გვქონდა სიჩქარის საშუალო მნიშვნელობა კმ საათში და დროის მნიშვნელობა წუთებში, თქვენ უნდა გაყოთ დროის მნიშვნელობა 60 -ზე, რომ გადააკეთოთ საათებად.
- დავასრულოთ ჩვენი მაგალითის პრობლემა. 120 მილი/საათი × 0.5 საათი = 60 მილი რა გაითვალისწინეთ, რომ დროის მნიშვნელობის ერთეულები (საათები) გამოტოვებენ საშუალო სიჩქარის მნიშვნელს (საათებს) ტოვებენ მხოლოდ მანძილის ერთეულებს (მილი).
ნაბიჯი 3. შეცვალეთ განტოლება სხვა ცვლადის გამოსათვლელად
ძირითადი მანძილის განტოლების სიმარტივე (s = v × t) აადვილებს განტოლების გამოყენებას მანძილის გარდა სხვა ცვლადის მნიშვნელობის საპოვნელად. უბრალოდ გამოყავით ცვლადი, რომლის პოვნა გსურთ ალგებრის ძირითადი წესების მიხედვით, შემდეგ შეიყვანეთ დანარჩენი ორი ცვლადის მნიშვნელობა, რათა იპოვოთ მესამე ცვლადის მნიშვნელობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამოთვალეთ ობიექტის საშუალო სიჩქარე, გამოიყენეთ განტოლება v = s/t და გამოთვალეთ ობიექტის მიერ გავლილი დრო, გამოიყენეთ განტოლება t = s/v.
- მაგალითად, ვთქვათ, ჩვენ ვიცით, რომ მანქანამ 50 კილომეტრი გაიარა 50 წუთის განმავლობაში, მაგრამ ჩვენ არ გვაქვს საშუალო სიჩქარის მნიშვნელობა, როდესაც ობიექტი მოძრაობს. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ v ცვლადი ძირითადი მანძილის განტოლებაში, რომ მივიღოთ v = d/t, შემდეგ უბრალოდ გავყოთ 60 მილი/50 წუთი, რომ მივიღოთ პასუხი 1.2 მილი/წუთში.
- გაითვალისწინეთ, რომ მაგალითში სიჩქარის პასუხს აქვს უჩვეულო ერთეული (მილი/წუთი). უფრო გავრცელებული მილის/საათში პასუხის მისაღებად, გაამრავლეთ 60 წუთი/საათში, რომ მიიღოთ შედეგი 72 მილი/სთ.
ნაბიჯი 4. გაითვალისწინეთ, რომ ცვლადი "v" მანძილის ფორმულაში აღნიშნავს საშუალო სიჩქარეს
მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ძირითადი მანძილის ფორმულა გთავაზობთ ობიექტის მოძრაობის გამარტივებულ ხედვას. მანძილის ფორმულა ვარაუდობს, რომ მოძრაობის ობიექტს აქვს მუდმივი სიჩქარე - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ის მიიჩნევს, რომ მოძრაობის ობიექტს აქვს ერთი, უცვლელი სიჩქარე. აბსტრაქტული მათემატიკის პრობლემებისთვის, როგორიცაა ის, რაც შეიძლება შეხვდეთ აკადემიურ გარემოში, ზოგჯერ მაინც შესაძლებელია ამ ვარაუდის გამოყენებით ობიექტის მოძრაობის მოდელირება. თუმცა, რეალურ ცხოვრებაში, ეს მაგალითები ხშირად ზუსტად არ ასახავს მოძრავი ობიექტების მოძრაობას, რასაც ფაქტობრივად შეუძლია დააჩქაროს, შეანელოს, შეაჩეროს და შეცვალოს დროთა განმავლობაში.
- მაგალითად, ზემოთ მოყვანილ პრობლემის მაგალითში ჩვენ დავასკვნათ, რომ 50 წუთის მანძილზე 60 კილომეტრის დასაფარავად დაგვჭირდება 72 კილომეტრის სიჩქარე საათში. თუმცა, ეს მართალია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მთელი სიჩქარით მოძრაობთ ერთი სიჩქარით. მაგალითად, მოგზაურობის ნახევარი 80 მილი/სთ სიჩქარით და დარჩენილი ნახევრისთვის 64 მილი/საათი, ჩვენ მაინც გავვლით 60 მილს 50 წუთში - 72 მილი/საათში = 60 მილი/50 წუთს = ?????
- კალკულუსზე დაფუძნებული გადაწყვეტილებები, რომლებიც იყენებენ წარმოებულებს, ხშირად უკეთეს არჩევანს აკეთებენ ვიდრე მანძილების ფორმულებს ობიექტის სიჩქარის დასადგენად რეალურ სიტუაციებში, რადგან სიჩქარის ცვლილებები შესაძლებელია.
მეთოდი 2 დან 2: ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლა
ნაბიჯი 1. იპოვეთ ორი წერტილის ორი სივრცითი კოორდინატი
რა მოხდება, თუ მოძრავი ობიექტის მიერ გავლილი მანძილის გამოანგარიშების ნაცვლად, თქვენ უნდა გამოთვალოთ მანძილი ორ უძრავ ობიექტს შორის? ასეთ შემთხვევაში, ზემოთ აღწერილი სიჩქარეზე დაფუძნებული მანძილის ფორმულა არ იმუშავებს. საბედნიეროდ, სხვადასხვა მანძილის ფორმულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას ორ წერტილს შორის სწორი ხაზის მანძილის ადვილად გამოსათვლელად. თუმცა, ამ ფორმულის გამოსაყენებლად, თქვენ უნდა იცოდეთ ორი წერტილის კოორდინატები. თუ ერთგანზომილებიანი დისტანციების დამუშავება (როგორც რიცხვთა ხაზზე), კოორდინატები შედგება ორი რიცხვისგან, x1 და x2რა თუ თქვენ მართავთ დისტანციებს ორ განზომილებაში, დაგჭირდებათ ორი მნიშვნელობა (x, y), (x1, y1) და (x2, y2). დაბოლოს, სამი განზომილებისთვის დაგჭირდებათ მნიშვნელობა (x1, y1, ზ1) და (x2, y2, ზ2).
ნაბიჯი 2. გამოთვალეთ ერთგანზომილებიანი მანძილი ორი წერტილის კოორდინატთა მნიშვნელობების გამოკლებით
ორ წერტილს შორის ერთგანზომილებიანი მანძილის გამოთვლა, როდესაც თქვენ უკვე იცით თითოეული წერტილის მნიშვნელობა, ადვილია. უბრალოდ გამოიყენეთ ფორმულა s = | x2 - x1| რა ამ ფორმულაში თქვენ გამოაკლებთ x- ს1 x– დან2, მაშინ აიღეთ თქვენი პასუხის აბსოლუტური მნიშვნელობა, რომ იპოვოთ მანძილი x- ს შორის1 და x2რა ჩვეულებრივ, თქვენ გსურთ გამოიყენოთ განზომილებიანი მანძილის ფორმულა, როდესაც ორი წერტილი არის წრფეზე ან რიცხვით ღერძზე.
- გაითვალისწინეთ, რომ ეს ფორმულა იყენებს აბსოლუტურ მნიშვნელობებს (სიმბოლო " | |"). აბსოლუტური მნიშვნელობა ნიშნავს მხოლოდ იმას, რომ სიმბოლოში არსებული მნიშვნელობა ხდება დადებითი, თუ ის უარყოფითია.
-
მაგალითად, ვთქვათ, ჩვენ ვჩერდებით გზის პირას, სრულყოფილად სწორ გზატკეცილზე. თუ არის ქალაქი 5 კილომეტრის წინ და სხვა ქალაქი 1 მილის უკან, რამდენად შორს არის ეს ორი ქალაქი? თუ 1 ქალაქს დავადგენთ x- ს1 = 5 და ქალაქი 2 x1 = -1, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ s, მანძილი ორ ქალაქს შორის, შემდეგი გზით:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 მილი.
ნაბიჯი 3. გამოთვალეთ ორგანზომილებიანი მანძილი პითაგორას თეორემის გამოყენებით
ორგანზომილებიან სივრცეში ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლა უფრო რთულია, ვიდრე ერთგანზომილებიან, მაგრამ არა ძნელი. უბრალოდ გამოიყენეთ ფორმულა s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2) რა ამ ფორმულაში გამოვაკლოთ ორი x- კოორდინატი, გამოვთვალოთ კვადრატული ფესვი, გამოვაკლოთ ორი y- კოორდინატი, გამოვთვალოთ კვადრატული ფესვი, შემდეგ დავამატოთ ორი შედეგი ერთად და გამოვთვალოთ კვადრატული ფესვი, რათა ვიპოვოთ მანძილი ორ წერტილს შორის. ეს ფორმულა ვრცელდება ორგანზომილებიან სიბრტყეზე - მაგალითად, ჩვეულებრივ x/y გრაფიკზე.
- ორგანზომილებიანი მანძილის ფორმულა იყენებს პითაგორას თეორემას, რომელიც აცხადებს, რომ სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე მარჯვნივ უდრის კვადრატის კვადრატულ ფესვს მეორე ორ მხარეს.
- მაგალითად, ვთქვათ, რომ ჩვენ გვაქვს ორი წერტილი x -y სიბრტყეში: (3, -10) და (11, 7), რომლებიც წარმოადგენს წრის ცენტრს და წერტილს წრეზე, შესაბამისად. ორ წერტილს შორის სწორი ხაზის მანძილის საპოვნელად, შეგვიძლია გამოვთვალოთ იგი შემდეგნაირად:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
ნაბიჯი 4. გამოთვალეთ სამგანზომილებიანი მანძილი ორგანზომილებიანი მანძილის ფორმულის შეცვლით
სამ განზომილებაში წერტილებს აქვთ x და y კოორდინატების გარდა z კოორდინატები. სამგანზომილებიან სივრცეში ორ წერტილს შორის მანძილის გამოსათვლელად გამოიყენეთ s = ((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (ზ2 - ზ1)2) რა ეს არის ზემოთ აღწერილი ორგანზომილებიანი მანძილის ფორმულის შეცვლილი ფორმა, რომელიც მოიცავს z- კოორდინატს. ორი z- კოორდინატის გამოკლება, კვადრატული ფესვის გამოთვლა და დანარჩენი ფორმულის გაგრძელება უზრუნველყოფს, რომ თქვენი საბოლოო პასუხი წარმოადგენს სამ წერტილს შორის ორ წერტილს შორის.
- მაგალითად, ვთქვათ, ჩვენ ვართ ასტრონავტები, რომლებიც კოსმოსში ცურავენ ორ ასტეროიდს შორის. ერთი ასტეროიდი დაახლოებით 8 კმ -ით არის წინ, 2 კმ მარჯვნივ და ჩვენგან 5 კმ ქვემოთ, ხოლო მეორე დაახლოებით 3 კმ უკან, 3 კმ მარცხნივ და 4 კმ ჩვენზე მაღლა. თუ ჩვენ წარმოვადგენთ ორი ასტეროიდის პოზიციას კოორდინატებით (8, 2, -5) და (-3, -3, 4), ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მათ შორის მანძილი შემდეგნაირად:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 კმ
