როგორ დავხატოთ კვადრატული გრაფიკი: 10 ნაბიჯი (სურათებით)

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-02-01 14:14

როდესაც გამოსახულია გრაფიკულად, კვადრატული განტოლება არის ფორმის ნაჯახი² + bx + c ან a (x - h)² + კ ჩამოაყალიბეთ ასო U ან ინვერსიული U მრუდი, რომელსაც ეწოდება პარაბოლა. კვადრატული განტოლების გრაფიკული გამოსახვა ეძებს წვერს, მიმართულებას და ხშირად x და y გადაკვეთას. საკმაოდ მარტივი კვადრატული განტოლების შემთხვევებში, x მნიშვნელობების ერთობლიობის შეყვანა და მრუდის გამოსახვა შედეგად მიღებული წერტილების საფუძველზე შეიძლება იყოს საკმარისი. დასაწყებად იხილეთ ქვემოთ 1 ნაბიჯი.

ნაბიჯი

ნაბიჯი 1. განსაზღვრეთ კვადრატული განტოლების ფორმა, რომელიც გაქვთ

კვადრატული განტოლებები შეიძლება დაიწეროს სამი განსხვავებული ფორმით: ზოგადი ფორმა, წვერო ფორმა და კვადრატული ფორმა. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ფორმა კვადრატული განტოლების გამოსახატად; თითოეული გრაფის გამოსახვის პროცესი ოდნავ განსხვავებულია. თუ საშინაო დავალებას ასრულებთ, თქვენ ჩვეულებრივ მიიღებთ კითხვებს ამ ორი ფორმიდან ერთ – ერთი - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ ვერ შეძლებთ არჩევანის გაკეთებას, ამიტომ უმჯობესია ორივე გაიგოთ. კვადრატული განტოლების ორი ფორმაა:

• ზოგადი ფორმა.

  ამ ფორმით, კვადრატული განტოლება იწერება როგორც: f (x) = ax² + bx + c სადაც a, b და c რეალური რიცხვებია და a არ არის ნული.

  მაგალითად, ზოგადი ფორმის ორი კვადრატული განტოლებაა f (x) = x² + 2x + 1 და f (x) = 9x² + 10x -8.

• პიკის ფორმა.

  ამ ფორმით, კვადრატული განტოლება იწერება: f (x) = a (x - h)² + k სადაც a, h და k რეალური რიცხვებია და a არ არის ნული. მას უწოდებენ ვერტექსის ფორმას, რადგან h და k დაუყოვნებლივ მოგცემთ თქვენი პარაბოლის წვეროს (შუა წერტილს) წერტილში (h, k).

  ორი ვერტიკალური განტოლება არის f (x) = 9 (x - 4)² + 18 და -3 (x - 5)² + 1

• ნებისმიერი სახის განტოლების გამოსახატავად, ჩვენ ჯერ უნდა ვიპოვოთ პარაბოლას წვერო, რომელიც არის მრუდის ბოლოს შუალედური წერტილი (h, k). მწვერვალების კოორდინატები ზოგადი ფორმით გამოითვლება შემდეგნაირად: h = -b/2a და k = f (h), ხოლო პიკის ფორმებში, h და k განტოლებაში.

ნაბიჯი 2. განსაზღვრეთ თქვენი ცვლადები

კვადრატული პრობლემის გადასაჭრელად, ცვლადები a, b და c (ან a, h და k) ჩვეულებრივ უნდა განისაზღვროს. ჩვეულებრივი ალგებრული პრობლემა იძლევა კვადრატულ განტოლებას არსებულ ცვლადებთან, ჩვეულებრივ ზოგადი ფორმით, მაგრამ ზოგჯერ პიკის სახით.

• მაგალითად, ზოგადი ფორმის განტოლებისთვის f (x) = 2x² + 16x + 39, გვაქვს a = 2, b = 16 და c = 39.
• პიკის ფორმულისთვის განტოლება f (x) = 4 (x - 5)² + 12, გვაქვს a = 4, h = 5 და k = 12.

ნაბიჯი 3. გამოთვალეთ თ

ვერტიკალური ფორმულის განტოლებაში თქვენი h მნიშვნელობა უკვე მოცემულია, მაგრამ ზოგადი ფორმის განტოლებაში h მნიშვნელობა უნდა გამოითვალოს. გახსოვდეთ, რომ ზოგადი ფორმის განტოლებებისთვის h = -b/2a.

• ჩვენს ზოგად ფორმაში მაგალითი (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). ამოხსნის შემდეგ ვხვდებით, რომ h = - 4.
• ჩვენს ვერტიკალურ ფორმაში მაგალითი (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ჩვენ ვიცით, რომ h = 5 ყოველგვარი მათემატიკის გარეშე.

ნაბიჯი 4. გამოთვალეთ კ

H- ს მსგავსად, k უკვე ცნობილია პიკის ფორმის განტოლებაში. ზოგადი ფორმის განტოლებებისთვის გახსოვდეთ, რომ k = f (h). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ k, თქვენს განტოლებაში ყველა x მნიშვნელობის შეცვლით თქვენს მიერ ნაპოვნი h მნიშვნელობებით.

• ჩვენ უკვე განვსაზღვრეთ ჩვენი ზოგადი ფორმით მაგალითი, რომ h = -4. K- ის საპოვნელად, ჩვენ განვსაზღვრავთ ჩვენს განტოლებას x- ის ნაცვლად h- ის მნიშვნელობით:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    ნაბიჯი 7.

• ჩვენი პიკის ფორმის მაგალითში, ჩვენ კვლავ ვიცით k- ის მნიშვნელობა (რაც არის 12) ყოველგვარი მათემატიკის გარეშე.

ნაბიჯი 5. დახაზეთ თქვენი პიკი

თქვენი პარაბოლის წვერო არის წერტილი (h, k)-h წარმოადგენს x კოორდინატს, ხოლო k წარმოადგენს y- კოორდინატს. წვერო არის თქვენი პარაბოლის შუა წერტილი - ან U ბოლოში, ან გადატრიალებული U ზედა ნაწილში. წვეროების ცოდნა ზუსტი პარაბოლის დახატვის მნიშვნელოვანი ნაწილია - ხშირად, სასკოლო სამუშაოებში, წვეროების დადგენა არის ის ნაწილი, რომელიც უნდა ვეძებოთ კითხვაში.

• ჩვენი ზოგადი ფორმის მაგალითში, ჩვენი პიკია (-4, 7). ამრიგად, ჩვენი პარაბოლა დაასრულებს 4 ნაბიჯს მარცხნივ 0 და 7 საფეხურიდან ზემოთ (0, 0). ჩვენ უნდა გამოვხატოთ ეს წერტილი ჩვენს გრაფაში, დარწმუნდით, რომ მონიშნეთ კოორდინატები.
• ჩვენს წვერო ფორმის მაგალითში, ჩვენი წვერო არის (5, 12). ჩვენ უნდა დავხატოთ წერტილი 5 ნაბიჯი მარჯვნივ და 12 ნაბიჯი ზემოთ (0, 0).

ნაბიჯი 6. დახაზეთ პარაბოლის ღერძი (სურვილისამებრ)

პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი არის ხაზი, რომელიც გადის მის ცენტრში და მას ზუსტად შუაზე ყოფს. ამ ღერძზე, პარაბოლის მარცხენა მხარე ასახავს მარჯვენა მხარეს. კვადრატული განტოლებების სახით ax² + bx + c ან a (x - h)² + k, სიმეტრიის ღერძი არის ის ხაზი, რომელიც პარალელურად y ღერძისაა (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ზუსტად ვერტიკალური) და გადის წვეროზე.

ჩვენი ზოგადი ფორმის მაგალითის შემთხვევაში, ღერძი არის y- ღერძის პარალელური ხაზი და გადის წერტილში (-4, 7). მიუხედავად იმისა, რომ ის არ არის პარაბოლის ნაწილი, ამ ხაზის თხელი მარკირება თქვენს გრაფიკში საბოლოოდ დაგეხმარებათ პარაბოლას მრუდის სიმეტრიული ფორმის დანახვაში

ნაბიჯი 7. იპოვეთ პარაბოლის გახსნის მიმართულება

მას შემდეგ რაც ვიცით პარაბოლის პიკი და ღერძი, შემდეგ უნდა ვიცოდეთ პარაბოლა იხსნება თუ ქვევით. საბედნიეროდ, ეს ადვილია. თუ a- ს მნიშვნელობა დადებითია, პარაბოლა გაიხსნება ზემოთ, ხოლო თუ a- ის უარყოფითია, პარაბოლა ქვევით გაიხსნება (ანუ პარაბოლა გადატრიალდება).

• ჩვენი ზოგადი ფორმის მაგალითისთვის (f (x) = 2x² + 16x + 39), ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ გვაქვს პარაბოლა, რომელიც იხსნება, რადგან ჩვენს განტოლებაში a = 2 (დადებითი).
• ჩვენი ვერტექსის ფორმის მაგალითისთვის (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ ასევე გვაქვს პარაბოლა, რომელიც იხსნება, რადგან a = 4 (დადებითი).

ნაბიჯი 8. საჭიროების შემთხვევაში, იპოვეთ და დახაზეთ x- კვეთა

ხშირად, სკოლის დავალებების შესრულებისას თქვენ მოგეთხოვებათ იპოვოთ x- ინტერპრეტაცია პარაბოლაში (რაც არის ერთი ან ორი წერტილი, სადაც პარაბოლა ხვდება x ღერძს). მაშინაც კი, თუ თქვენ ვერ იპოვით ერთს, ეს ორი პუნქტი ძალიან მნიშვნელოვანია ზუსტი პარაბოლის დახატვისთვის. თუმცა, ყველა პარაბოლას არ აქვს x- ჩაჭრა. თუ თქვენს პარაბოლას აქვს წვერო, რომელიც იხსნება და მისი წვერო მაღლაა x ღერძის ზემოთ, ან თუ ის ქვევით იხსნება და მისი წვერო ქვემოთ არის x ღერძის ქვემოთ, პარაბოლას არ ექნება x- ჩაჭრა რა წინააღმდეგ შემთხვევაში, გადაწყვიტეთ თქვენი x- ჩაჭრა ერთი შემდეგი გზით:

• უბრალოდ გააკეთე f (x) = 0 და ამოხსენი განტოლება. ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას მარტივი კვადრატული განტოლებებისთვის, განსაკუთრებით პიკის სახით, მაგრამ რთული განტოლებებისთვის ძალიან რთული იქნება. მაგალითისთვის იხილეთ ქვემოთ

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • ფესვი (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 და 13 არის პარაბოლაში x- ჩაჭრა.

• ფაქტორი თქვენი განტოლება. ზოგიერთი განტოლება ცულის სახით² + bx + c ადვილად შეიძლება ჩაითვალოს ფორმაში (dx + e) (fx + g), სადაც dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, და e × g = c ამ შემთხვევაში, თქვენი x- ჩათრევები არის x მნიშვნელობები, რომლებიც ნებისმიერ ტერმინს გახდის ფრჩხილებში = 0. მაგალითად:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • ამ შემთხვევაში, თქვენი ერთადერთი x- ჩაჭრა არის -1, რადგან x თანაბარი -1 გახდის ფრჩხილებში ნებისმიერ ფაქტორულ ტერმინს ტოლი 0.

• გამოიყენეთ კვადრატული ფორმულა. თუ თქვენ არ შეგიძლიათ მარტივად გადაჭრათ თქვენი x- ჩაჭრა ან განტოლების ფაქტორი, გამოიყენეთ სპეციალური განტოლება სახელწოდებით კვადრატული ფორმულა, რომელიც შეიქმნა ამ მიზნით. თუ ის ჯერ კიდევ არ არის გადაწყვეტილი, გადააკეთეთ თქვენი განტოლება ფორმაში ცული² + bx + c, შემდეგ შეიყვანეთ a, b და c ფორმულაში x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. გაითვალისწინეთ, რომ ეს მეთოდი ხშირად გაძლევთ ორ პასუხს x- ის მნიშვნელობაზე, რაც ნორმალურია-ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ თქვენს პარაბოლას აქვს ორი x- ჩაჭრა. ქვემოთ იხილეთ მაგალითი:

  • -5x² + 1x + 10 კვადრატულ ფორმულაშია ჩასმული ასე:
  • x = (-1 +/- ფესვი (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- ფესვი (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- ფესვი (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) და (-15, 18/-10). პარაბოლაში x- ჩაჭრა არის x = - 1, 318 და 1, 518
  • ზოგადი ფორმის ჩვენი წინა მაგალითი, 2x² +16x+39 ჩნდება კვადრატულ ფორმულაში შემდეგნაირად:
  • x = (-16 +/- ფესვი (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- ფესვი (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- ფესვი (-56)/-10
  • ვინაიდან შეუძლებელია უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის პოვნა, ჩვენ ვიცით, რომ ეს პარაბოლაა არ აქვს x- ჩაჭრა.

ნაბიჯი 9. საჭიროების შემთხვევაში, იპოვეთ და დახაზეთ y- ჩაჭრა

მიუხედავად იმისა, რომ ხშირად არ არის აუცილებელი y- ჩაჭრის ძებნა განტოლებებში (წერტილი, სადაც პარაბოლა გადის y ღერძზე), შეიძლება საბოლოოდ მოგიწიოს მისი პოვნა, განსაკუთრებით თუ სკოლაში ხარ. პროცესი საკმაოდ მარტივია-უბრალოდ გააკეთე x = 0, შემდეგ ამოხსენი შენი განტოლება f (x) ან y, რაც იძლევა y მნიშვნელობას, სადაც შენი პარაბოლა გადის y ღერძზე. X- ჩაჭრისგან განსხვავებით, ჩვეულებრივ პარაბოლას შეიძლება ჰქონდეს მხოლოდ ერთი y- ჩაჭრა. შენიშვნა-ზოგადი ფორმის განტოლებებისთვის, y- ჩაჭრა არის y = c.

• მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენი კვადრატული განტოლება არის 2x² + 16x + 39 – ს აქვს y- შეწყვეტა y = 39 – ზე, მაგრამ ის ასევე შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. პარაბოლის y- ჩაჭრა არის at y = 39.

    როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, y- ჩაჭრა არის y = c.

• ჩვენი წვერო განტოლების ფორმა არის 4 (x - 5)² + 12-ს აქვს y- ჩაჭრა, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. პარაბოლის y- ჩაჭრა არის at y = 112.

ნაბიჯი 10. საჭიროების შემთხვევაში, დახაზეთ დამატებითი ქულები, შემდეგ დახაზეთ გრაფიკი

ახლა თქვენ გაქვთ განტოლებაში მწვერვალი, მიმართულება, x- ჩაჭრა და შესაძლოა y- ჩაჭრა. ამ ეტაპზე, თქვენ შეგიძლიათ სცადოთ თქვენი პარაბოლის დახატვა იმ წერტილების გამოყენებით, რომლებიც გაქვთ როგორც სახელმძღვანელო, ან მოძებნოთ სხვა პუნქტები თქვენი პარაბოლის შესავსებად ისე, რომ თქვენი მრუდი იყოს უფრო ზუსტი. ამის უმარტივესი გზაა უბრალოდ ჩაწეროთ x- მნიშვნელობები თქვენი წვეროს ნებისმიერ მხარეს, შემდეგ დახაზოთ ეს წერტილები მიღებული y- მნიშვნელობების გამოყენებით. ხშირად, მასწავლებლები გკითხავენ, რომ პარაბოლას დახატვამდე რამდენიმე პუნქტი მოძებნოთ.

• განვიხილოთ განტოლება x² + 2x + 1. ჩვენ უკვე ვიცით, რომ x ინტერპრეტაცია არის მხოლოდ x = -1. ვინაიდან მრუდი მხოლოდ x წერტილს ეხება ერთ მომენტში, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წვერო არის მისი x ინტერცეტი, რაც ნიშნავს რომ წვერო არის (-1, 0). ჩვენ ამ პარაბოლას მხოლოდ ერთი წერტილი გვაქვს - საკმარისი არ არის კარგი პარაბოლის დასახატად. მოდით ვეძებოთ სხვა პუნქტები, რათა დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენ ვხატავთ საფუძვლიან გრაფიკს.

  • მოდით ვიპოვოთ y მნიშვნელობები შემდეგი x მნიშვნელობებისთვის: 0, 1, -2 და -3.
  • 0 -ისთვის: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. ჩვენი წერტილი არის (0, 1).

  • 1 -ისთვის: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. ჩვენი წერტილი არის (1, 4).

  • -2 -ისთვის: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. ჩვენი წერტილი არის (-2, 1).

  • -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. ჩვენი წერტილი არის (-3, 4).

  • დახაზეთ ეს წერტილები გრაფიკზე და დახაზეთ თქვენი U- ფორმის მრუდი. გაითვალისწინეთ, რომ პარაბოლა სრულყოფილად სიმეტრიულია - როდესაც თქვენი პარაბოლის ერთ მხარეს არის მთელი რიცხვები, თქვენ ჩვეულებრივ შეგიძლიათ შეამციროთ პარაბოლას სიმეტრიის ღერძზე მოცემული წერტილის უბრალოდ ასახვის სამუშაოები, რათა იპოვოთ იგივე წერტილი პარაბოლის მეორე მხარეს რა

Რჩევები

• დამრგვალეთ რიცხვები ან გამოიყენეთ წილადები თქვენი ალგებრის მასწავლებლის მოთხოვნის შესაბამისად. ეს დაგეხმარებათ კვადრატული განტოლების უკეთ გამოსახვაში.
• გაითვალისწინეთ, რომ f (x) = ax² + bx + c, თუ b ან c ნულის ტოლია, ეს რიცხვები გაქრება. მაგალითად, 12x² + 0x + 6 ხდება 12x² + 6 რადგან 0x არის 0.