როგორ განვსაზღვროთ 3X3 მატრიცის განმსაზღვრელი: 11 ნაბიჯი (სურათებით)

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-15 08:18

მატრიცების განმსაზღვრელი ხშირად გამოიყენება გაანგარიშებაში, ხაზოვან ალგებრასა და გეომეტრიაში უფრო მაღალ დონეზე. აკადემიური სფეროს გარეთ, კომპიუტერული გრაფიკის ინჟინრები და პროგრამისტები ყოველთვის იყენებენ მატრიცებს და მათ განმსაზღვრელ ფაქტორებს. თუ თქვენ უკვე იცით როგორ განსაზღვროთ 2x2 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი, თქვენ უბრალოდ უნდა ისწავლოთ როდის გამოიყენოთ შეკრება, გამოკლება და დრო, რათა დადგინდეს 3x3 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი.

ნაბიჯი

მე -2 ნაწილი 1: განმსაზღვრელი ფაქტორების განსაზღვრა

დაწერეთ თქვენი 3 x 3 შეკვეთის მატრიცა. ჩვენ დავიწყებთ 3x3 რიგის A მატრიცას და ვეცდებით ვიპოვოთ განმსაზღვრელი | A |. ქვემოთ მოცემულია მატრიცის აღნიშვნის ზოგადი ფორმა, რომელსაც ჩვენ გამოვიყენებთ და ჩვენი მატრიცის მაგალითი:

		ა11	ა12	ა13		1	5	3
მ	=	ა21	ა22	ა23	=	2	4	7
		ა31	ა32	ა33		4	6	2

ნაბიჯი 1. აირჩიეთ სტრიქონი ან სვეტი

გააკეთეთ თქვენი არჩევანი საცნობარო სტრიქონი ან სვეტი. რაც არ უნდა აირჩიოთ, მაინც მიიღებთ ერთსა და იმავე პასუხს. დროებით შეარჩიეთ პირველი რიგი. ჩვენ მოგცემთ რამოდენიმე წინადადებას მომდევნო ნაწილში ყველაზე ადვილად გამოსათვლელი ვარიანტის არჩევის შესახებ.

შეარჩიეთ ნიმუშის მატრიცის პირველი სტრიქონი A. შემოხაზეთ ნომერი 1 5 3. საერთო აღნიშვნისას შემოხაზეთ a₁₁ ა₁₂ ა₁₃.

ნაბიჯი 2. გადაკვეთეთ თქვენი პირველი ელემენტის რიგი და სვეტი

შეხედეთ თქვენს მიერ შემოვლილ სტრიქონს ან სვეტს და შეარჩიეთ პირველი ელემენტი. გადაკვეთეთ რიგები და სვეტები. ხელუხლებელი დარჩება მხოლოდ 4 ნომერი. გააკეთეთ ეს 4 რიცხვი 2 x 2 რიგის მატრიცა.

• ჩვენს მაგალითში, ჩვენი საცნობარო სტრიქონი არის 1 5 3. პირველი ელემენტი არის 1 -ლი და 1 -ლი სვეტიდან. გადაკვეთეთ მთელი 1 რიგი და 1 სვეტი. ჩაწერეთ დარჩენილი ელემენტები 2 x 2 მატრიცაში:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

ნაბიჯი 3. განსაზღვრეთ 2 x 2 რიგის მატრიცის განმსაზღვრელი

გახსოვდეთ, განსაზღვრეთ მატრიცის განმსაზღვრელი [^{ა_გ ბ_დ] მიერ რეკლამა - ძვ რა თქვენ ასევე ისწავლეთ მატრიცის განმსაზღვრელის განსაზღვრა X– ს 2 x 2 მატრიქსს შორის. გაამრავლეთ ორი რიცხვი, რომლებიც დაკავშირებულია X– ის ხაზით. არიან გამოიყენეთ ეს ფორმულა 2 x 2 მატრიცის განმსაზღვრელის გამოსათვლელად.}

• მაგალითში, მატრიცის განმსაზღვრელი [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• ამ განმსაზღვრელს ეწოდება არასრულწლოვანი საწყის მატრიცაში თქვენს მიერ არჩეული ელემენტები. ამ შემთხვევაში, ჩვენ უბრალოდ ვიპოვეთ a₁₁.

ნაბიჯი 4. გაამრავლეთ ნაპოვნი რიცხვი თქვენს მიერ არჩეული ელემენტის მიხედვით

დაიმახსოვრეთ, თქვენ შეარჩიეთ ელემენტები საცნობარო სტრიქონიდან (ან სვეტიდან), როდესაც თქვენ გადაწყვიტეთ რომელი სტრიქონები და სვეტები გამოხვიდეთ. გაამრავლეთ ეს ელემენტი თქვენს მიერ ნაპოვნი 2 x 2 მატრიცის განმსაზღვრელით.

მაგალითში ჩვენ ვირჩევთ ა₁₁ რაც არის 1. გაამრავლეთ ეს რიცხვი -34 -ით (2 x 2 მატრიცის განმსაზღვრელი), რომ მიიღოთ 1*-34 = - 34.

ნაბიჯი 5. განსაზღვრეთ თქვენი პასუხის სიმბოლო

შემდეგი ნაბიჯი არის ის, რომ თქვენ უნდა გაამრავლოთ თქვენი პასუხი 1 ან -1 მისაღებად კოფაქტორი თქვენს მიერ არჩეული ელემენტი. თქვენ მიერ გამოყენებული სიმბოლო დამოკიდებულია იმაზე, თუ სად არის ელემენტები 3 x 3 მატრიცაში. გახსოვდეთ, ეს სიმბოლოების ცხრილი გამოიყენება თქვენი ელემენტის მულტიპლიკატორის დასადგენად:

• + - +
• - + -
• + - +
• რადგან ჩვენ ვირჩევთ ა₁₁ რომელიც აღინიშნება +, ჩვენ გავამრავლებთ რიცხვს +1 (ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არ შეცვალოთ იგი). პასუხი, რომელიც გამოჩნდება, იგივე იქნება, კერძოდ - 34.
• სიმბოლოს განსაზღვრის კიდევ ერთი გზა არის ფორმულის გამოყენება (-1) ^{i+j სადაც i და j არის მწკრივისა და სვეტის ელემენტები.}

ნაბიჯი 6. გაიმეორეთ ეს პროცესი თქვენი საცნობარო სტრიქონის ან სვეტის მეორე ელემენტისთვის

დაუბრუნდით საწყის 3 x 3 მატრიცას, რომელშიც ადრე შემოხაზეთ სტრიქონი ან სვეტი. გაიმეორეთ იგივე პროცესი ელემენტთან ერთად:

• გადაკვეთეთ ელემენტის სტრიქონი და სვეტი.

  ამ შემთხვევაში, აირჩიეთ ელემენტი a₁₂ (რომელიც ღირს 5). გადაკვეთეთ პირველი რიგი (1 5 3) და მე -2 სვეტი (5 4 6).

• გადააქციე დარჩენილი ელემენტები 2x2 მატრიცაში.

  ჩვენს მაგალითში, 2x2 რიგის მატრიცა მეორე ელემენტისთვის არის [²₄ ⁷₂].

• განსაზღვრეთ ამ 2x2 მატრიცის განმსაზღვრელი.

  გამოიყენეთ ad -bc ფორმულა. (2*2 - 7*4 = -24)

• გაამრავლეთ თქვენი არჩეული 3x3 მატრიცის ელემენტებზე.

  -24 * 5 = -120

• გადაწყვიტეთ გაამრავლოთ ზემოაღნიშნული შედეგი -1 -ით თუ არა.

  გამოიყენეთ სიმბოლოების ან ფორმულების ცხრილი (-1)^ijრა აირჩიეთ ელემენტი ა₁₂ სიმბოლიზირებულია - სიმბოლოების ცხრილში. შეცვალეთ ჩვენი პასუხის სიმბოლო: (-1)*(--120) = 120.

ნაბიჯი 7. გაიმეორეთ იგივე პროცესი მესამე ელემენტისთვის

თქვენ გაქვთ კიდევ ერთი კოფაქტორი განმსაზღვრელის დასადგენად. დაითვალეთ i თქვენი ელემენტის მესამე სვეტში ან სვეტში. აქ არის სწრაფი გზა გამოთვალოთ კოფაქტორი a₁₃ ჩვენს მაგალითში:

• გადაკვეთეთ პირველი რიგი და მე -3 სვეტი, რომ მიიღოთ [²₄ ⁴₆].
• განმსაზღვრელია 2*6 - 4*4 = -4.
• გამრავლდეს ა ელემენტზე₁₃: -4 * 3 = -12.
• ელემენტი ა₁₃ სიმბოლო + სიმბოლოების ცხრილში, ასე რომ პასუხი არის - 12.

ნაბიჯი 8. დაამატეთ თქვენი სამი დათვლის შედეგები

ეს არის ბოლო ნაბიჯი. თქვენ გამოთვალეთ სამი კოფაქტორი, თითო თითოეული ელემენტისთვის ზედიზედ ან სვეტში. დაამატეთ ეს შედეგები და ნახავთ 3 x 3 მატრიცის განმსაზღვრელს.

მაგალითში, მატრიცის განმსაზღვრელია - 34 + 120 + - 12 = 74.

მე -2 ნაწილი 2: პრობლემის გადაჭრა უფრო ადვილია

ნაბიჯი 1. შეარჩიეთ მითითების სტრიქონი ან სვეტი, რომელსაც აქვს ყველაზე მეტი 0

გახსოვდეთ, თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ თქვენთვის სასურველი ნებისმიერი სტრიქონი ან სვეტი. რომელი აირჩიოთ, პასუხი იგივე იქნება. თუ თქვენ ირჩევთ სტრიქონს ან სვეტს 0 ნომრით, საჭიროა მხოლოდ კოფაქტორის გამოთვლა ელემენტებით, რომლებიც 0 არ არის, რადგან:

• მაგალითად, აირჩიეთ მე -2 რიგი, რომელსაც აქვს ელემენტი a₂₁, ა₂₂, ფონდი₂₃რა ამ პრობლემის გადასაჭრელად ჩვენ გამოვიყენებთ 3 სხვადასხვა 2 x 2 მატრიცას, ვთქვათ A₂₁, ა₂₂, შენ₂₃.
• 3x3 მატრიცის განმსაზღვრელია a₂₁| ა₂₁| - ა₂₂| ა₂₂| + ა₂₃| ა₂₃|.
• Თუ₂₂ ფონდი₂₃ მნიშვნელობა 0, არსებული ფორმულა იქნება a₂₁| ა₂₁| - 0*| ა₂₂| + 0*| ა₂₃| = ა₂₁| ა₂₁| - 0 + 0 = ა₂₁| ა₂₁| აქედან გამომდინარე, ჩვენ გამოვთვლით მხოლოდ ერთი ელემენტის კოფაქტორს.

ნაბიჯი 2. გამოიყენეთ დამატებითი რიგები, რათა გაადვილოთ მატრიცის პრობლემები

თუ თქვენ აიღებთ მნიშვნელობებს ერთი სტრიქონიდან და დაამატებთ მათ მეორე სტრიქონს, მატრიცის განმსაზღვრელი არ შეიცვლება. იგივე ეხება სვეტებს. ამის გაკეთება შეგიძლიათ განმეორებით ან გამრავლებით მუდმივზე მის დამატებამდე, რათა მიიღოთ რაც შეიძლება მეტი 0 მატრიცაში. ამან შეიძლება ბევრი დრო დაზოგოს.

• მაგალითად, თქვენ გაქვთ მატრიცა 3 სტრიქონით: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• 9 რიცხვის აღმოსაფხვრელად, რომელიც არის a პოზიციაზე₁₁, შეგიძლიათ გაამრავლოთ მნიშვნელობა მეორე რიგში -3 -ზე და შედეგი დაამატოთ პირველ რიგში. ახლა, ახალი პირველი ხაზი არის [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• ახალ მატრიცას აქვს სტრიქონები [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. გამოიყენეთ იგივე ხრიკი სვეტებზე, რათა ა₁₂ იყოს რიცხვი 0.

ნაბიჯი 3. გამოიყენეთ სწრაფი მეთოდი სამკუთხა მატრიცებისთვის

ამ განსაკუთრებულ შემთხვევაში, განმსაზღვრელი არის ელემენტის პროდუქტი ძირითად დიაგონალზე, ა₁₁ ზედა მარცხნივ a₃₃ მატრიცის ქვედა მარჯვენა კუთხეში. ეს მატრიცა ჯერ კიდევ 3x3 მატრიცაა, მაგრამ "სამკუთხედის" მატრიცას აქვს რიცხვების სპეციალური ნიმუში, რომელიც არ არის 0:

• ზედა სამკუთხა მატრიცა: ყველა ელემენტი, რომელიც არ არის 0, არის მთავარ დიაგონალზე ან ზემოთ. მთავარი დიაგონალის ქვემოთ ყველა რიცხვი არის 0.
• ქვედა სამკუთხა მატრიცა: ყველა ელემენტი, რომელიც არ არის 0, არის მთავარ დიაგონალზე ან ქვემოთ.
• დიაგონალური მატრიცა: ყველა ელემენტი, რომელიც არ არის 0, მთავარ დიაგონალზეა (მატრიცების ზემოთ ჩამოთვლილი ტიპები).

Რჩევები

• თუ მწკრივის ან სვეტის ყველა ელემენტი არის 0, მატრიცის განმსაზღვრელია 0.
• ეს მეთოდი შეიძლება გამოყენებულ იქნას კვადრატული მატრიცების ყველა ზომისთვის. მაგალითად, თუ თქვენ იყენებთ ამ მეთოდს 4x4 რიგის მატრიცისთვის, თქვენი "დარტყმა" დატოვებს 3x3 რიგის მატრიცას, რომლის განმსაზღვრელი შეიძლება განისაზღვროს ზემოაღნიშნული ნაბიჯების დაცვით. გახსოვდეთ, ამის გაკეთება შეიძლება მოსაწყენი იყოს!