ფრაქციების დაბალანსების 5 გზა

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-15 08:18

ორი ფრაქცია ექვივალენტურია, თუ მათ აქვთ იგივე მნიშვნელობა. წილადების ექვივალენტურ ფორმებად გადაქცევის ცოდნა უაღრესად მნიშვნელოვანი მათემატიკური უნარია, რომელიც საჭიროა მათემატიკის ყველა ფორმისათვის ძირითადი ალგებრიდან დაწყებული გაანგარიშებით. ეს სტატია მოგცემთ რამოდენიმე გზას, რათა გამოვთვალოთ ექვივალენტური წილადი ძირითადი გამრავლებადან და გაყოფიდან ექვივალენტური წილადი განტოლების ამოხსნის უფრო რთულ გზებზე.

ნაბიჯი

მეთოდი 1 -დან 5 -დან: ექვივალენტური წილადების მოწყობა

ნაბიჯი 1. გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი ერთი და იგივე რიცხვით

ორ განსხვავებულ, მაგრამ ექვივალენტ წილადს აქვს განმარტებით მრიცხველი და მნიშვნელი, რომლებიც ერთმანეთის ჯერადია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადის მრიცხველის და მნიშვნელის ერთსა და იმავე რიცხვზე გამომუშავება ექვივალენტურ წილადებს. მიუხედავად იმისა, რომ ახალ წილადში რიცხვები განსხვავებული იქნება, წილადებს ექნებათ იგივე მნიშვნელობა.

• მაგალითად, თუ ავიღებთ წილადს 4/8 და გავამრავლებთ მრიცხველსა და მნიშვნელს 2 -ზე, მივიღებთ (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. ეს ორი წილადი ექვივალენტურია.
• (4 × 2)/(8 × 2) სინამდვილეში იგივეა, რაც 4/8 × 2/2. გახსოვდეთ, რომ ორი წილადის გამრავლებისას ჩვენ ვამრავლებთ პირდაპირ, რაც ნიშნავს მრიცხველს მრიცხველზე და მნიშვნელს მნიშვნელზე.
• გაითვალისწინეთ, რომ 2/2 უდრის 1 -ს, თუ გაყოფას გააკეთებთ. ამრიგად, უფრო ადვილია იმის გაგება, თუ რატომ არის 4/8 და 8/16 ექვივალენტი, რადგან გამრავლება 4/8 × (2/2) = რჩება 4/8. ანალოგიურად, იგივეა, რაც თქვა 4/8 = 8/16.
• ნებისმიერ მოცემულ წილადს აქვს ექვივალენტური წილადების უსასრულო რაოდენობა. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ მრიცხველიც და მნიშვნელიც მთელ რიცხვზე, განურჩევლად ზომისა თუ მცირეისა, რომ მიიღოთ ეკვივალენტური წილადი.

ნაბიჯი 2. გაყავით მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვით

გამრავლების მსგავსად, გაყოფა ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ახალი წილის საპოვნელად, რომელიც ექვივალენტურია თქვენს თავდაპირველ წილადზე. უბრალოდ გაყავით წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვით, რომ მიიღოთ ეკვივალენტური წილადი. ამ პროცესს აქვს ერთი ნაკლი - საბოლოო წილადს უნდა ჰქონდეს მთლიანი რიცხვები როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, რომ იყოს ჭეშმარიტი.

მაგალითად, გავიხსენოთ 4/8. თუ გამრავლების ნაცვლად, მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც გავყოფთ 2 -ზე, მივიღებთ (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 და 4 არის მთელი რიცხვები, ამიტომ ეს ექვივალენტი წილადი მართალია

მეთოდი 2 5 -დან: ძირითადი გამრავლების გამოყენება თანასწორობის დასადგენად

ნაბიჯი 1. იპოვეთ რიცხვი, რომელიც უნდა გამრავლდეს მცირე მნიშვნელზე, რომ მიიღოთ უფრო დიდი მნიშვნელი

წილადების შესახებ ბევრი პრობლემა მოიცავს განსაზღვრას, არის თუ არა ორი წილადი ეკვივალენტური. ამ რიცხვის გაანგარიშებით, თქვენ შეგიძლიათ დაიწყოთ წილადის თანაბარი თანასწორობის დასადგენად.

• მაგალითად, ხელახლა გამოიყენეთ წილადები 4/8 და 8/16. პატარა მნიშვნელი არის 8 და რიცხვი უნდა გავამრავლოთ 2 -ით, რომ მივიღოთ უფრო დიდი მნიშვნელი, რომელიც არის 16. ასე რომ რიცხვი ამ შემთხვევაში არის 2.
• უფრო რთული რიცხვებისთვის შეგიძლიათ გაყოთ უფრო დიდი მნიშვნელი პატარა მნიშვნელზე. ამ შემთხვევაში, 16 იყოფა 8 -ზე, რაც კვლავ იძლევა 2 -ს.
• რიცხვი ყოველთვის არ არის მთელი რიცხვი. მაგალითად, თუ მნიშვნელი არის 2 და 7, მაშინ რიცხვი არის 3, 5.

ნაბიჯი 2. გავამრავლოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი, რომელსაც აქვს უფრო მცირე ტერმინი პირველი საფეხურიდან რიცხვზე

ორ განსხვავებულ, მაგრამ ექვივალენტურ წილადს აქვს, განმარტებით, მრიცხველი და მნიშვნელი, რომლებიც ერთმანეთის ჯერადია რა სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვით გამრავლდება ექვივალენტურ წილადზე. მიუხედავად იმისა, რომ ამ ახალ წილადში რიცხვები განსხვავებული იქნება, ამ წილადებს ექნებათ იგივე მნიშვნელობა.

მაგალითად, თუ ჩვენ გამოვიყენებთ წილადს 4/8 პირველი საფეხურიდან და გავამრავლებთ მრიცხველს და მნიშვნელს ადრე განსაზღვრულ რიცხვზე, რომელიც არის 2, მივიღებთ (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16 რა ეს შედეგი ადასტურებს, რომ ეს ორი წილადი ექვივალენტურია.

მეთოდი 3 5 -დან: ძირითადი განყოფილების გამოყენება თანასწორობის დასადგენად

ნაბიჯი 1. დაითვალეთ თითოეული წილადი, როგორც ათობითი რიცხვი

ცვლადების გარეშე მარტივი წილადებისთვის, თქვენ შეგიძლიათ თითოეული წილადი წარმოადგინოთ ათობითი რიცხვის სახით, თანასწორობის დასადგენად. ვინაიდან ყველა ფრაქცია რეალურად არის გაყოფის პრობლემა, ეს არის უმარტივესი გზა თანასწორობის დასადგენად.

• მაგალითად, გამოიყენეთ წილადი, რომელიც ადრე გამოვიყენეთ, 4/8. წილადი 4/8 უდრის თქვას 4 გაყოფილი 8 -ზე, რაც არის 4/8 = 0.5. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ამოხსნათ სხვა მაგალითი, რომელიც არის 8/16 = 0.5. არ აქვს მნიშვნელობა წილადის პირობები, წილადი ექვივალენტურია თუ ორივე რიცხვი ერთნაირია ათწილადში გამოსახვისას.
• გახსოვდეთ, რომ ათწილადის გამონათქვამებს შეიძლება ჰქონდეთ მრავალი ციფრი თანასწორობის გამოვლენამდე. როგორც ძირითადი მაგალითი, 1/3 = 0.333 მეორდება, ხოლო 3/10 = 0.3. ერთზე მეტი ციფრის გამოყენებით ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ორი წილადი არ არის ექვივალენტი.

ნაბიჯი 2. გაყავით წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვით, რომ მიიღოთ ეკვივალენტური წილადი

უფრო რთული წილადებისთვის, გაყოფის მეთოდი მოითხოვს დამატებით ნაბიჯებს. ვინაიდან გამრავლებით, თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვით, რომ მიიღოთ ეკვივალენტური წილადი. ამ პროცესს აქვს ერთი ნაკლი. საბოლოო წილადს უნდა ჰქონდეს მთლიანი რიცხვები როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში, რომ იყოს ჭეშმარიტი.

მაგალითად, გავიხსენოთ 4/8. თუ გამრავლების ნაცვლად მრიცხველსა და მნიშვნელს გავყოფთ 2 -ზე, მივიღებთ (4 2)/(8 2) = 2/4 რა 2 და 4 არის მთელი რიცხვები, ამიტომ ეს ექვივალენტი წილადი მართალია.

ნაბიჯი 3. გაამარტივეთ წილადები მათი უმარტივესი პირობებით

წილადების უმეტესობა, როგორც წესი, იწერება მათი უმარტივესი ტერმინებით და თქვენ შეგიძლიათ გადააკეთოთ წილადები მათ უმარტივეს ფორმაზე, ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორით (GCF) გაყოფით. ეს ნაბიჯი კეთდება იმავე ლოგიკით, როგორც ექვივალენტური წილადების წერა, მათი გადაკეთება ერთსა და იმავე მნიშვნელზე, მაგრამ ეს მეთოდი ცდილობს გაამარტივოს თითოეული წილადი მის ყველაზე მცირე შესაძლო ტერმინებში.

• როდესაც წილადი უმარტივეს ფორმაშია, მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ ყველაზე მცირე შესაძლო მნიშვნელობები. ორივე არ შეიძლება დაიყოს მთელ რიცხვზე, რომ მივიღოთ უფრო მცირე მნიშვნელობა. წილად, რომელიც არ არის მისი უმარტივესი ფორმა მის უმარტივეს ეკვივალენტურ ფორმად, ჩვენ ვყოფთ მრიცხველსა და მნიშვნელს მათ უდიდეს საერთო ფაქტორზე.

• მრიცხველისა და მნიშვნელის ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორი (GCF) არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც მათ ყოფს მთელი რიცხვის მისაღებად. ასე რომ, ჩვენს 4/8 მაგალითში, იმიტომ

  ნაბიჯი 4. არის ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც იყოფა 4 -ზე და 8 -ზე, ჩვენ გავყოფთ ჩვენი წილადის მრიცხველსა და მნიშვნელს 4 -ზე, რომ მივიღოთ უმარტივესი ტერმინები. (4 4)/(8 4) = 1/2 რა ჩვენი სხვა მაგალითისთვის, 8/16, GCF არის 8, რომელიც ასევე უბრუნებს მნიშვნელობას 1/2, როგორც წილადის უმარტივეს გამოხატვას.

მეთოდი 5 5: ჯვარედინი პროდუქტების გამოყენება ცვლადების მოსაძებნად

ნაბიჯი 1. დაალაგეთ ორი წილადი ისე, რომ ისინი ერთმანეთის ტოლი იყოს

ჩვენ ვიყენებთ ჯვრის გამრავლებას მათემატიკური ამოცანებისთვის, სადაც ვიცით, რომ წილადები ექვივალენტურია, მაგრამ ერთ -ერთი რიცხვი შეიცვალა ცვლადით (ჩვეულებრივ x), რომელიც უნდა გადავწყვიტოთ. მსგავს შემთხვევებში ჩვენ ვიცით, რომ ეს წილადები ექვივალენტურია, რადგან ისინი ერთადერთი ტერმინებია ტოლობის ნიშნის მეორე მხარეს, მაგრამ ხშირად ცვლადის პოვნის გზა აშკარა არ არის. საბედნიეროდ, ჯვარედინი გამრავლებისას ამ ტიპის პრობლემების მოგვარება ადვილია.

ნაბიჯი 2. აიღეთ ორი ექვივალენტი წილადი და გაამრავლეთ ისინი "X" ფორმით

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თქვენ ამრავლებთ ერთი წილადის მრიცხველს მეორე წილადის მნიშვნელზე და პირიქით, შემდეგ ააწყობთ ორ პასუხს ერთმანეთის შესატყვისად და ამოხსნისთვის.

მიიღეთ ჩვენი ორი მაგალითი, 4/8 და 8/16. არცერთს არ აქვს ცვლადი, მაგრამ ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ კონცეფცია, რადგან უკვე ვიცით, რომ ისინი ექვივალენტურია. ჯვრის გამრავლებით მივიღებთ 4/16 = 8 x 8, ან 64 = 64, რაც მართალია. თუ ეს ორი რიცხვი არ არის ტოლი, მაშინ წილადი არ არის ექვივალენტი

ნაბიჯი 3. დაამატეთ ცვლადები

ვინაიდან ჯვარედინი გამრავლება არის უადვილესი გზა ეკვივალენტური წილადების დასადგენად, როდესაც თქვენ უნდა იპოვოთ ცვლადები, მოდით დავამატოთ ცვლადები.

• მაგალითად, მოდით გამოვიყენოთ განტოლება 2/x = 10/13. რომ გავამრავლოთ გამრავლება, ჩვენ ვამრავლებთ 2 – ს 13 – ზე და 10 – ს x– ზე, შემდეგ ვდებთ პასუხებს ერთმანეთის ტოლფასი:

  • 2 × 13 = 26
  • 10 × x = 10x
  • 10x = 26. აქედან გამომდინარე, ჩვენი ცვლადის პასუხის პოვნა არის მარტივი ალგებრული პრობლემა. x = 26/10 = 2, 6, მიღების საწყისი ეკვივალენტური წილადი 2/2, 6 = 10/13.

ნაბიჯი 4. მრავალჯერადი ცვლადი წილადების ან ცვლადი გამონათქვამებისათვის გამოიყენეთ ჯვარედინი გამრავლება

ჯვრის გამრავლების ერთ -ერთი საუკეთესო თვისებაა ის, რომ ის რეალურად მუშაობს ერთნაირად, მიუხედავად იმისა მუშაობთ ორ მარტივ წილადზე (როგორც ზემოთ) თუ უფრო რთულ წილადზე. მაგალითად, თუ ორივე წილადს აქვს ცვლადი, თქვენ მხოლოდ ამ ცვლადების აღმოფხვრა გჭირდებათ ამოხსნის პროცესში. ანალოგიურად, თუ თქვენი წილის მრიცხველს ან მნიშვნელს აქვს ცვლადი გამოხატულება (ისევე როგორც x + 1), უბრალოდ "გაამრავლეთ" ის განაწილების თვისების გამოყენებით და გადაწყვიტეთ ჩვეულებისამებრ.

• მაგალითად, მოდით გამოვიყენოთ განტოლება ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). ამ შემთხვევაში, როგორც ზემოთ, ჩვენ ამას მოვაგვარებთ ჯვარედინი პროდუქტით:

  • (x + 3) 4 = 4x + 12
  • (x + 1) 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12, მაშინ შეგვიძლია გავამარტივოთ წილადი, რომ გამოვაკლოთ 2x ორივე მხრიდან
  • 2 = 2x + 12, შემდეგ ჩვენ გამოვყოფთ ცვლადს 12 -ის გამოკლებით ორივე მხრიდან
  • -10 = 2x, და გავყოთ 2 -ზე x- ის საპოვნელად
  • - 5 = x

მეთოდი 5 -დან 5: კვადრატული ფორმულების გამოყენება ცვლადების მოსაძებნად

ნაბიჯი 1. გადაკვეთეთ ორი წილადი

თანასწორობის პრობლემებისთვის, რომლებიც მოითხოვს კვადრატულ ფორმულას, ჩვენ მაინც ვიწყებთ ჯვარედინი პროდუქტის გამოყენებით. თუმცა, ნებისმიერი ჯვარედინი პროდუქტი, რომელიც გულისხმობს ცვლადის პირობების გამრავლებას სხვა ცვლადის პირობებით, სავარაუდოდ გამოიწვევს გამოხატვას, რომლის გადაწყვეტაც არ შეიძლება ადვილად ალგებრის გამოყენებით. მსგავს შემთხვევებში შეიძლება დაგჭირდეთ ისეთი ტექნიკის გამოყენება, როგორიცაა ფაქტორინგი და/ან კვადრატული ფორმულები.

• მაგალითად, განვიხილოთ განტოლება ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). ჯერ ჯვარი გავამრავლოთ:

  • (x + 1) × (2x - 2) = 2x² + 2x -2x - 2 = 2x² - 2
  • 4 × 3 = 12
  • 2x² - 2 = 12.

ნაბიჯი 2. დაწერეთ განტოლება კვადრატული განტოლების სახით

ამ განყოფილებაში, ჩვენ გვინდა დავწეროთ ეს განტოლება კვადრატული ფორმით (ცული² + bx + c = 0), რასაც ჩვენ ვაკეთებთ განტოლების ნულის ტოლით. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გამოვაკლებთ 12 -ს ორივე მხრიდან, რომ მივიღოთ 2x² - 14 = 0.

ზოგიერთი მნიშვნელობა შეიძლება იყოს 0. -ის ტოლი² - 14 = 0 არის ჩვენი განტოლების უმარტივესი ფორმა, რეალური კვადრატული განტოლება არის 2x² + 0x + (-14) = 0. შეიძლება თავიდანვე გამოსადეგი იყოს კვადრატული განტოლების ფორმის ჩაწერა მაშინაც კი, თუ ზოგიერთი მნიშვნელობა 0-ის ტოლია.

ნაბიჯი 3. ამოხსენით რიცხვები თქვენი კვადრატული განტოლებიდან კვადრატულ ფორმულაში

კვადრატული ფორმულა (x = (-b +/- (b² - 4ac))/2a) დაგვეხმარება ვიპოვოთ ჩვენი x მნიშვნელობა ამ განყოფილებაში. ნუ შეგეშინდებათ ფორმულის სიგრძისა. თქვენ უბრალოდ აიღებთ მნიშვნელობებს თქვენი კვადრატული განტოლებიდან მეორე საფეხურზე და ათავსებთ მათ სწორ ადგილას მათ ამოხსნამდე.

• x = (-b +/- (ბ² - 4ac))/2a. ჩვენს განტოლებაში, 2x² - 14 = 0, a = 2, b = 0 და c = -14.
• x = (-0 +/- (0² - 4(2)(-14)))/2(2)
• x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
• x = (+/- (112))/2 (2)
• x = (+/- 10.58/4)
• x = +/- 2, 64

ნაბიჯი 4. შეამოწმეთ თქვენი პასუხი x კვადრატულ განტოლებაში ხელახლა შეყვანის გზით

მეორე საფეხურიდან გამოთვლილი x მნიშვნელობის ჩათვლით თქვენს კვადრატულ განტოლებაში, თქვენ მარტივად შეგიძლიათ განსაზღვროთ სწორი პასუხი მიიღეთ თუ არა. ამ მაგალითში თქვენ შეაერთებთ 2, 64 და -2, 64 თავდაპირველ კვადრატულ განტოლებას.

Რჩევები

• წილადის ექვივალენტად გადაქცევა ფაქტიურად არის წილადის გამრავლების ფორმა 1/2 -ში 2/4 - ზე, მრიცხველისა და მნიშვნელის გამრავლება 2 -ზე იგივეა, რაც 1/2 გამრავლებული 2/2 –ზე, რაც უდრის 1 -ს რა

• თუ სასურველია, შერეული რიცხვი გადააქციე საერთო წილად, რომ უფრო ადვილი იყოს გარდაქმნა. რასაკვირველია, ყველა ის ფრაქცია, რომელსაც წააწყდებით, არ იქნება ისეთი მარტივი, როგორც ზემოთ მოყვანილი ჩვენი 4/8 მაგალითი. მაგალითად, შერეულ რიცხვებს (როგორიცაა 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 და ა.შ.) შეუძლია კონვერტაციის პროცესი ოდნავ გაართულოს. თუ თქვენ უნდა გადააკეთოთ შერეული რიცხვი საერთო წილად, შეგიძლიათ ამის გაკეთება ორი გზით: შერეული რიცხვის საერთო წილად გადაქცევით, შემდეგ კი ჩვეულებისამებრ, ან შერეული რიცხვების ფორმის შენარჩუნებით და შერეული რიცხვების სახით პასუხების მიღებით.

  • საერთო წილად გადასაყვანად, გავამრავლოთ შერეული რიცხვის მთლიანი კომპონენტი წილადის კომპონენტის მნიშვნელზე და შემდეგ დავამატოთ მრიცხველს. მაგალითად, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. შემდეგ, თუ სასურველია, შეგიძლიათ შეცვალოთ იგი საჭიროებისამებრ. მაგალითად, 5/3 × 2/2 = 10/6, რომელიც ტოლია 1 2/3.
  • თუმცა, ჩვენ არ გვჭირდება გადავიყვანოთ ჩვეულებრივ წილად, როგორც ზემოთ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩვენ ვტოვებთ მთელ კომპონენტს მარტო, ვცვლით მხოლოდ წილადის კომპონენტს და ვამატებთ მთელ კომპონენტს უცვლელად. მაგალითად, 3 4/16, ჩვენ ვხედავთ მხოლოდ 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. ამრიგად, მთელი რიცხვითი კომპონენტების უკან დამატებით, ჩვენ ვიღებთ ახალ შერეულ რიცხვს, 3 1/4.

გაფრთხილება

• გამრავლება და გაყოფა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ეკვივალენტური წილადების მისაღებად, რადგან გამრავლება და გაყოფა რიცხვის წილადური ფორმით 1 (2/2, 3/3 და ა.შ.) იძლევა პასუხს, რომელიც ექვივალენტურია პირველადი წილადის მიხედვით. დამატება და გამოკლება არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას.

• მიუხედავად იმისა, რომ წილადების გამრავლებისას ამრავლებთ მრიცხველებს და მნიშვნელებს, წილადების შეკრების ან გამოკლებისას არ ამატებთ და არ გამოაკლებთ მნიშვნელს.

  მაგალითად, ზემოთ, ჩვენ ვიცით, რომ 4/8 4/4 = 1/2. თუ შევაჯამებთ 4/4 – ით, მივიღებთ სრულიად განსხვავებულ პასუხს. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ან 3/2, ისინი არ არის ტოლი 4/8.