როგორ გადავწყვიტოთ კვადრატული ფესვის პრობლემები (სურათებით)

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-15 08:18

მიუხედავად იმისა, რომ ზოგჯერ ეს შეიძლება შემაძრწუნებლად მოგვეჩვენოს, კვადრატული ძირეული პრობლემის გადაჭრა სინამდვილეში არც ისე რთულია. კვადრატული ფესვის მარტივი პრობლემები, როგორც წესი, მარტივად შეიძლება მოგვარდეს, როგორც ძირითადი გამრავლება და გაყოფის პრობლემები. უფრო რთული კითხვებისთვის, ცოტა მეტი ძალისხმევაა საჭირო. მაგრამ სწორი მიდგომით, ნებისმიერი რთული პრობლემის გადაჭრა შესაძლებელია. ამ სტატიის საშუალებით ჩვენ დაგეხმარებით კვადრატული ძირეული პრობლემების მოგვარებაში რამდენიმე მარტივ ნაბიჯში.

ნაბიჯი

მე –3 ნაწილი 1: კვადრატებისა და კვადრატული ფესვების გაგება

ნაბიჯი 1. კვადრატი არის რიცხვი გამრავლებული თავად რიცხვზე

კვადრატული ფესვის გასაგებად, კარგია ჯერ კვადრატის მნიშვნელობის გაგება. მარტივად რომ ვთქვათ, კვადრატი არის რიცხვი გამრავლებული თავად რიცხვზე. მაგალითად, 3 კვადრატი არის 3 -ჯერ 3 = 9 და 9 კვადრატი არის 9 -ჯერ 9 = 81. კვადრატი გამოსახულია პატარა 2 -ით კვადრატის რიცხვის ზედა მარჯვენა კუთხეში - ასე: 3², 9², 100²და ა.შ.

სცადეთ სხვა რიცხვების კვადრატი ამ კონცეფციის შესამოწმებლად. გახსოვდეთ, რიცხვის კვადრატი ამრავლებს რიცხვს თავისთავად. ნეგატიური რიცხვების კვადრატიც კი შეგიძლიათ. შედეგი ყოველთვის იქნება დადებითი რიცხვი. მაგალითად, -8² = -8 × -8 = 64.

ნაბიჯი 2. კვადრატული ფესვი არის კვადრატის საპასუხო

კვადრატული ფესვის სიმბოლო (√, ასევე ცნობილი როგორც "რადიკალური" სიმბოლო) არსებითად სიმბოლოს საპირისპიროა ²რა როდესაც აღმოაჩენთ რადიკალს, ჰკითხეთ საკუთარ თავს: რომელი რიცხვი, კვადრატში რომ აღმოჩნდეს რიცხვი რადიკალში? მაგალითად, თუ გადახედავთ √ (9) -ს, იპოვეთ რიცხვი, რომელიც კვადრატში ცხრაა. ამრიგად, პასუხი არის "სამი", რადგან 3² = 9.

• როგორც სხვა მაგალითი, შევეცადოთ ვიპოვოთ 25 -ის კვადრატული ფესვი (√ (25)). ანუ ჩვენ ვეძებთ რიცხვს, რომელიც კვადრატში მიღებისას არის 25. რადგან 5² = 5 × 5 = 25, შემდეგ (25) =

  ნაბიჯი 5..

• კვადრატული ფესვი ასევე შეიძლება ჩაითვალოს კვადრატის „გაუქმებად“. მაგალითად, თუ ჩვენ გვინდა ვიპოვოთ (64), 64 -ის კვადრატული ფესვი, მაშინ 64 -ის ჩათვალეთ 8²რა რადგან კვადრატული ფესვის სიმბოლო არსებითად „უარყოფს“კვადრატულ სიმბოლოს, ამიტომ (64) = (8²) =

  ნაბიჯი 8..

ნაბიჯი 3. იცოდეთ განსხვავება სრულყოფილ და არასრულყოფილ კვადრატებს შორის

აქამდე, ჩვენი კვადრატული ფესვის გამოთვლების შედეგები იყო მთელი რიცხვები. კითხვები, რომლებსაც მოგვიანებით შეხვდებით, არც ისე ადვილი იქნება, იქნება კითხვები ათობითი რიცხვებით, რამდენიმე ნიშნით მძიმის მიღმა. რიცხვები, რომლებიც დამრგვალებულია კვადრატის შემდეგ (ანუ არა წილადი და ათობითი რიცხვები) ასევე მოიხსენიება როგორც "სრულყოფილი კვადრატები". ყველა წინა მაგალითი (9, 25 და 64) არის სრულყოფილი კვადრატი, რადგან თუ ისინი კვადრატშია, შედეგი არის მთელი რიცხვი (3, 5 და 8).

მეორეს მხრივ, რიცხვები, რომლებიც არ არის მომრგვალებული კვადრატის შემდეგ, არის "არასრულყოფილი კვადრატები". ჩვეულებრივ, კვადრატის შემდეგ შედეგი არის წილადური ან ათობითი რიცხვი. ზოგჯერ რიცხვებიც კი ძალიან რთულად გამოიყურება, მაგალითად (13) = 3, 605551275464…

ნაბიჯი 4. დაიმახსოვრე 1-12 რიცხვების კვადრატი

როგორც უკვე იცით, სრულყოფილი კვადრატული რიცხვის კვადრატირება ძალიან ადვილია. 1-12 რიცხვების კვადრატების დამახსოვრება შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს, რადგან ეს რიცხვები ბევრი გამოჩნდება პრობლემაში. ამრიგად, თქვენ დაზოგავთ დროს კითხვებზე მუშაობისას. პირველი 12 კვადრატული რიცხვი არის::

• 1² = 1 × 1 =

  Ნაბიჯი 1.

• 2² = 2 × 2 =

  ნაბიჯი 4.

• 3² = 3 × 3 =

  ნაბიჯი 9.

• 4² = 4 × 4 =

  ნაბიჯი 16.

• 5² = 5 × 5 =

  ნაბიჯი 25.

• 6² = 6 × 6 = 36
• 7² = 7 × 7 = 49
• 8² = 8 × 8 = 64
• 9² = 9 × 9 = 81
• 10² = 10 × 10 = 100
• 11² = 11 × 11 = 121
• 12² = 12 × 12 = 144

ნაბიჯი 5. გაამარტივეთ კვადრატული ფესვი სრულყოფილი კვადრატების ამოღებით

არასრულყოფილი კვადრატული რიცხვის კვადრატული ფესვის პოვნა შეიძლება რთული იყოს, განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, თუ არ იყენებთ კალკულატორს. ამასთან, კვადრატის რიცხვი შეიძლება გამარტივდეს, რომ გაადვილდეს გამოთვლა. ამისათვის უბრალოდ გამოყავით რიცხვი რადიკალში რამდენიმე ფაქტორად, შემდეგ ამოიღეთ სრულყოფილი კვადრატული რიცხვების კვადრატული ფესვი და ჩაწერეთ პასუხი რადიკალს გარეთ. ეს მეთოდი საკმაოდ ადვილი გასაკეთებელია - უკეთ გასაგებად, აქ არის მეტი ახსნა:

• ვთქვათ, ჩვენ გვინდა გამოვთვალოთ კვადრატული ფესვი 900. ასე რომ, უბრალოდ გავყოთ 900 მის ფაქტორებად. "ფაქტორები" არის რიცხვები, რომელთა გამრავლება შესაძლებელია სხვა რიცხვის შესაქმნელად. მაგალითად, რიცხვი 6 შეიძლება მივიღოთ გამრავლებით და 1 × 6 და 2 × 3, ამიტომ 6 – ის ფაქტორები არის 1, 2, 3 და 6.
• ამ პრინციპის გათვალისწინებით, მოდით დავყოთ 900 მის ფაქტორებად. დასაწყისისთვის, ჩვენ ვწერთ 900 -ს 9 × 100. ვინაიდან 9 არის სრულყოფილი კვადრატი, ჩვენ შეგვიძლია ცალკე ავიღოთ 100 -ის კვადრატული ფესვი. (9 × 100) = (9) (100) = 3 × (100). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, (900) = 3√(100).

• ჩვენ შეგვიძლია მისი შემდგომი გამარტივება 100 – ის გამოყოფით მის ფაქტორებში, კერძოდ 25 და 4. (100) = (25 × 4) = (25) (4) = 5 × 2 = 10. მაშასადამე, შეიძლება გამოითვალოს (900) = 3 (10) =

  ნაბიჯი 30..

ნაბიჯი 6. გამოიყენეთ წარმოსახვითი რიცხვი უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვისთვის

დაფიქრდით, რა რიცხვი იქნება კვადრატში შედეგი -16? პასუხი, არა. ყველა რიცხვი კვადრატში, შედეგი ყოველთვის დადებითია, რადგან ის უარყოფითია (-), როდესაც უარყოფით გამრავლებული შედეგი დადებითია (+). ასე რომ, უარყოფითი რიცხვის კვადრატში შესაყვანად, ჩვენ უნდა შევცვალოთ უარყოფითი რიცხვი წარმოსახვითი რიცხვით (ჩვეულებრივ ასოების ან სიმბოლოების სახით). მაგალითად, ცვლადი "i" ზოგადად გამოიყენება -1 კვადრატული ფესვისთვის. წარმოსახვითი რიცხვი ყოველთვის არის უარყოფითი რიცხვის კვადრატულ ფესვზე.

უნდა აღინიშნოს, რომ მიუხედავად იმისა, რომ წარმოსახვითი რიცხვები არასოდეს არის გამოსახული რიცხვებით, ისინი მაინც შეიძლება სხვადასხვაგვარად განვიხილოთ, როგორც რიცხვები. მაგალითად, უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი შეიძლება იყოს კვადრატში, ამოიღონ კვადრატული ფესვი. მაგალითად, ი² = - 1

ნაწილი 3 3: გამოიყენეთ გრძელი განყოფილების სტილის ალგორითმი

ნაბიჯი 1. ამოხსენით კვადრატული ძირეული პრობლემები, როგორიცაა გრძელი გაყოფის პრობლემები

მიუხედავად იმისა, რომ შრომატევადი, რთული კვადრატული ძირეული პრობლემების მოგვარება შესაძლებელია კალკულატორის გარეშე. ამისათვის ჩვენ გამოვიყენებთ მეთოდს (ან ალგორითმს), რომელიც წააგავს გრძელი დასტის გაყოფას.

• დაიწყეთ კვადრატული ძირეული პრობლემის ჩაწერით, როგორც გრძელი გაყოფის პრობლემა. როგორც პრობლემის მაგალითი, იპოვეთ 6, 45 -ის ფესვი, რომელიც არ არის მთელი რიცხვი. პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ რადიკალურ სიმბოლოს (√), შემდეგ მის ქვემოთ ვწერთ რიცხვს, რომლის კვადრატიც გვინდა ავიღოთ. შემდეგ დახაზეთ ხაზი ციფრებზე, ისევე როგორც გრძელი დაწყობის განყოფილება. ახლა, "√" სიმბოლოს ჰგავს კუდი ქვედა რიცხვით 6.45.
• ჩვენ დავწერთ რიცხვებს პრობლემის ზემოთ, ასე რომ დარწმუნდით, რომ დატოვეთ ცარიელი ადგილი.

ნაბიჯი 2. რიცხვითი რიცხვების დაჯგუფება წყვილებად

პირველი, დაჯგუფება რიცხვის რიცხვი რადიკალში წყვილებად, ათწილადის წერტილიდან დაწყებული. წყვილებს შორის გააკეთეთ რაიმე სახის მარკერი (პერიოდი, მძიმით, ხაზი და ა.შ.) ადვილი თვალთვალისთვის.

მაგალითის ამოცანაში 6, 45 დაიყოფა 6-, 45-00 რა გახსოვდეთ, რომ მარცხნივ არის "დარჩენილი" ციფრები - ეს არ არის პრობლემა.

ნაბიჯი 3. იპოვეთ ყველაზე დიდი რიცხვი, რომლის კვადრატული მნიშვნელობა ნაკლებია ან უდრის პირველ ჯგუფს

დაიწყეთ ჯგუფის პირველი ნომრით მარცხნივ. შეარჩიეთ ყველაზე დიდი რიცხვი, რომლის კვადრატული მნიშვნელობა ჯგუფში ნაკლები ან ტოლია. მაგალითად, თუ ჯგუფი 37 -ია, აირჩიეთ 6 რადგან 6² = 36 <37 მაგრამ 7² = 49> 37. ჩაწერეთ ეს რიცხვი პირველი ჯგუფის ზემოთ. ეს რიცხვი არის თქვენი პასუხის პირველი ციფრი.

• მაგალითის ამოცანაში, პირველი ჯგუფი 6-, 45-00 არის 6. ყველაზე დიდი რიცხვი, რომელიც კვადრატში 6-ზე ნაკლებია ან ტოლია

  ნაბიჯი 2. - 2² = 4. ჩაწერეთ რიცხვი "2" 6 -ზე ზემოთ და კუდი არის რადიკალური.

ნაბიჯი 4. გაამრავლეთ რიცხვი, რომელიც ახლახან ჩამოწერეთ, შემდეგ შეამცირეთ და გამოაკელით

აიღეთ თქვენი პასუხის პირველი ციფრი (დაწერილია რადიკალზე ზემოთ) და გაამრავლეთ იგი. დაწერეთ პასუხი პირველი ჯგუფის ქვეშ და გამოაკელით განსხვავების საპოვნელად. ჩამოაგდეთ შემდეგი ჯგუფი სხვაობის მარჯვნივ, რომელიც თქვენ უკვე გამოთვალეთ. დაბოლოს, ჩაწერეთ თქვენი პასუხის პირველი ციფრის გამრავლების ბოლო ციფრი მარცხნივ და დატოვეთ ცარიელი ადგილი მარჯვნივ.

მაგალითის ამოცანაში რიცხვი, რომელიც გაორმაგებულია არის 2 (წინა პასუხის პირველი ციფრი). 2 × 2 = 4. შემდეგ, გამოვაკლოთ 4 6 -ით (პირველი ჯგუფიდან). 6 - 4 შედეგი არის 2. შემდეგი, ჩამოაგდეთ შემდეგი ჯგუფი (45) და მივიღებთ 245. დაბოლოს, კვლავ ჩაწერეთ ნომერი 4 მარცხნივ და დატოვეთ ცოტა ადგილი მარჯვნივ, ასე: 4_

ნაბიჯი 5. შეავსეთ ცარიელი ადგილი

დაამატეთ ციფრები მარცხნივ დაწერილი რიცხვის მარჯვნივ. შეარჩიეთ ციფრი, რომელიც იძლევა ყველაზე დიდ მნიშვნელობას ამ ახალ რიცხვზე გამრავლებისას, მაგრამ მაინც ნაკლებია ან ტოლია "მიღებული რიცხვის". მაგალითად, თუ "მიღებული რიცხვი" არის 1700 და მარცხნივ არის 40_, რიცხვი, რომელიც უნდა შეიყვანოთ არის "4", რადგან 404 × 4 = 1616 <1700, ხოლო 405 × 5 = 2025. რიცხვი ნაპოვნია ეს ნაბიჯი არის თქვენი პასუხის მეორე ციფრი, ასე რომ ჩაწერეთ იგი რადიკალური სიმბოლოს ზემოთ.

• მაგალითის ამოცანაში ჩვენ ვეძებთ რიცხვს 4_ to _ გვერდი, რომლის პასუხი არის ყველაზე დიდი რიცხვი, მაგრამ ნაკლებია ან უდრის 245. პასუხი არის

  ნაბიჯი 5.რა 45 × 5 = 225, ხოლო 46 × 6 = 276.

ნაბიჯი 6. განაგრძეთ "ცარიელი ადგილის" ნომრების გამოყენება თქვენი პასუხის მოსაძიებლად

განაგრძეთ გრძელი დაწყობის დაყოფის ნიმუში, სანამ სხვაობა რიცხვების გამოკლებას შორის ნულის ტოლია, ან არ მიიღება საკმაოდ ზუსტი რიცხვი. როდესაც დაასრულებთ, რიცხვები, რომლებსაც იყენებდით თითოეული ნაბიჯის ცარიელი ადგილების შესავსებად (პლუს პირველი რიცხვი, რომელიც გამოიყენეთ) შეადგენენ თქვენი პასუხის თითოეულ ციფრს.

• მაგალითის ამოცანაში გამოვაკლოთ 245 220 -ით და მივიღოთ 20. შემდეგი, ჩვენ დავამცირებთ ციფრების შემდეგ ჯგუფს, 00 და მივიღებთ 2000. გავამრავლოთ რიცხვი რადიკალური სიმბოლოს ზემოთ და მივიღებთ 25 × 2 = 50. შევსება ბლანკებში 50_ × _ =/<2, 000, ჩვენ ვიღებთ რიცხვს

  ნაბიჯი 3.რა ახლა ჩვენ მივიღეთ "253" რადიკალური სიმბოლოს ზემოთ - გაიმეორეთ ეს პროცესი კიდევ ერთხელ და მიიღეთ 9 შემდეგ რიცხვში.

ნაბიჯი 7. ამოიღეთ ათობითი ნიშანი საწყისიდან

საბოლოო პასუხის მისაღებად, ათწილადის წერტილი მიუთითეთ სწორ პოზიციაზე. ადვილია - უბრალოდ ათწილადის წერტილი დაითვალეთ ათწილადთან ერთად რადიკალური სიმბოლოს ქვემოთ. მაგალითად, რადიკალზე ქვემოთ მოცემული რიცხვი არის 49, 8, ასე რომ 8 – დან 9 – ზე ზემოთ რიცხვებს შორის დააყენეთ ათწილადის წერტილი.

მაგალითის პრობლემაში, თუ რიცხვი რადიკალში არის 6, 45, მაშინ ათწილადის წერტილი იქნება 2 და 5 ციფრებს შორის. ეს ნიშნავს, რომ საბოლოო პასუხი არის 2, 539.

ნაწილი 3 3 -დან: სწრაფად შეაფასეთ არასრულყოფილი კვადრატები

ნაბიჯი 1. იპოვეთ არასრულყოფილი კვადრატი მიახლოების გამოყენებით

მას შემდეგ რაც დაიმახსოვრებთ სრულყოფილ კვადრატებს, არასრულყოფილი კვადრატების პოვნა გაცილებით ადვილი იქნება. ხრიკი იმაში მდგომარეობს, რომ იპოვოთ სრულყოფილი კვადრატი იმ რიცხვამდე, რომელსაც თქვენ ეძებთ. შემდეგ, განსაზღვრეთ ორი სრულყოფილი კვადრატიდან რომელია ყველაზე ახლოს იმ რიცხვთან, რომელსაც თქვენ ეძებთ.

მაგალითად, ჩვენ გვინდა ვიპოვოთ 40 -ის კვადრატული ფესვი. სრულყოფილი კვადრატული რიცხვი 40 -მდე და შემდეგ არის 6² და 7², რაც არის 36 და 49. ვინაიდან 40 არის 36 – ზე მეტი და 49 – ზე ნაკლები, 40 – ის კვადრატული ფესვი უნდა იყოს 6 – დან 7 – მდე. აქ არის რამოდენიმე ნაბიჯი ზუსტი პასუხის მოსაძებნად.

ნაბიჯი 2. შეაფასეთ კვადრატული ფესვი ერთ ციფრზე მძიმის შემდეგ

როდესაც თქვენ განსაზღვრეთ ორი სრულყოფილი კვადრატული რიცხვი იმ რიცხვამდე, რომელსაც ეძებთ და დანარჩენის შემდეგ, დანარჩენი არის მძიმის მიღმა მყოფი რიცხვის პოვნა, რომელიც ყველაზე ახლოს არის პასუხთან. დაიწყეთ სავარაუდო ერთნიშნა რიცხვით მძიმის შემდეგ. ეს პროცესი განმეორდება მანამ, სანამ არ მიიღებთ პასუხს თქვენთვის სასურველი სიზუსტით.

მაგალითის პრობლემაში, 40 -ის კვადრატული ფესვის გონივრული მიახლოება არის 6, 4, რადგან პასუხი სავარაუდოდ უფრო ახლოსაა 6 -ზე ვიდრე 7 -ზე.

ნაბიჯი 3. გაამრავლეთ თქვენი სავარაუდო რიცხვი თავად რიცხვით

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კვადრატში ჩაწერეთ თქვენი სავარაუდო რიცხვი. თუ გაგიმართლათ, შედეგი იქნება პრობლემაში არსებული რიცხვი. თუ არა, განაგრძეთ რიცხვების დამატება ან გამოკლება მძიმის შემდეგ, სანამ პრობლემის რიცხვთან უახლოეს კვადრატს არ იპოვით.

• გავამრავლოთ 6, 4 6 -ით, 4 -ით მივიღოთ 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, რომელიც ოდნავ აღემატება 40 -ს.
• ვინაიდან საწყისი ექსპერიმენტი ზედმეტი იყო, გამოაკლეთ თქვენი მიახლოება ერთი ათობითი ადგილით, რაც არის 6, 3 × 6, 3 = 39, 69 რა ეს შედეგი პრობლემის რიცხვზე ოდნავ დაბლაა. ეს ნიშნავს, რომ 40 -ის კვადრატული ფესვი არის 6, 3 და 6, 4. შორის, მას შემდეგ, რაც 39.69 უფრო ახლოს არის 40 -თან, 40 -ის კვადრატული ფესვიც უფრო ახლოს არის 6, 3 -თან.

ნაბიჯი 4. საჭიროებისამებრ წინასწარ პროგნოზირება

გამოიყენეთ თქვენი პასუხი, თუ ფიქრობთ, რომ ის საკმარისად ზუსტია. თუ არა, უბრალოდ გააგრძელეთ ზემოთ მოყვანილი ნიმუში, სანამ მძიმის შემდეგ არ იპოვით პასუხს სამი ან ოთხი ციფრით - ყოველ შემთხვევაში, სანამ არ მიაღწევთ თქვენთვის სასურველი სიზუსტის დონეს.

მაგალითის პრობლემაში, შევეცადოთ ავირჩიოთ 6, 33, როგორც მძიმის მიღმა სავარაუდო ორი ციფრი. კვადრატი 6, 33 და შედეგი არის 6, 33 × 6, 33 = 40, 0689. ვინაიდან შედეგი არის პრობლემის რიცხვზე მაღლა, ჩვენ ვცდილობთ მეორე რიცხვი შევამციროთ მძიმის შემდეგ 6, 32. 6, 32 × 6, 32 = 39, 9424. ეს შედეგი პრობლემის რიცხვზე ოდნავ დაბლაა. ასე რომ, კვადრატული ფესვი 40 არის შორის 6, 33 და 6, 32 რა თუ გსურთ უფრო ზუსტი პასუხი, გთხოვთ გააგრძელოთ სამი ან ოთხი ან თუნდაც ხუთი ციფრი მძიმის შემდეგ..

Რჩევები

გამოიყენეთ კალკულატორი ყველაზე სწრაფი გამოსავლისთვის. თანამედროვე კალკულატორებს შეუძლიათ სწრაფად იპოვონ კვადრატული ფესვი. ჩვეულებრივ, უბრალოდ შეიყვანეთ ნომერი, რომელსაც ეძებთ, შემდეგ დააჭირეთ ღილაკს რადიკალური სიმბოლოთი. მაგალითად, 841 -ის კვადრატული ფესვის საპოვნელად უბრალოდ დააჭირეთ 8, 4, 1, (√) და პასუხი გამოჩნდება 39.