პითაგორას თეორემა ელეგანტური და პრაქტიკული სახით აღწერს მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების სიგრძეს, ამიტომ ეს თეორემა დღესაც ფართოდ გამოიყენება. ეს თეორემა აცხადებს, რომ ნებისმიერი მართკუთხა სამკუთხედისთვის არაკუთხი გვერდების კვადრატების ჯამი უდრის ჰიპოტენუზის კვადრატს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მართკუთხა სამკუთხედისთვის a და b პერპენდიკულარული გვერდებით და c ჰიპოტენუზით, ა2 + ბ2 = გ2.
პითაგორას თეორემა არის ელემენტარული გეომეტრიის ერთ -ერთი ძირითადი საყრდენი. უამრავი თეორია იყენებს ამ თეორემის გამოყენებას, მაგალითად, რათა გაადვილდეს კოორდინატულ სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის მანძილის პოვნა.
ნაბიჯი
მეთოდი 1 2 – დან: მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების პოვნა
ნაბიჯი 1. დარწმუნდით, რომ თქვენი სამკუთხედი არის მართკუთხა სამკუთხედი
პითაგორას თეორემა ეხება მხოლოდ მართკუთხა სამკუთხედებს, ასე რომ, სანამ გააგრძელებთ, ძალიან მნიშვნელოვანია დარწმუნდეთ, რომ თქვენი სამკუთხედები შეესაბამება მართკუთხა სამკუთხედების თვისებებს. საბედნიეროდ, არსებობს ერთი ფაქტორი, რომელიც შეიძლება მიუთითებდეს იმაზე, რომ შენი სამკუთხედი მართკუთხა სამკუთხედია. თქვენს სამკუთხედს უნდა ჰქონდეს 90 გრადუსიანი კუთხე.
როგორც ნიშანი, მართკუთხა სამკუთხედები ხშირად აღინიშნება მცირე ზომის კვადრატებით 90 გრადუსიანი კუთხეების აღსანიშნავად, არ იყენებს მოსახვევ "მოსახვევებს". მოძებნეთ ეს კონკრეტული ნიშანი თქვენი სამკუთხედის კუთხეში
ნაბიჯი 2. მიეცით ცვლადები a, b და c თქვენი სამკუთხედის გვერდებზე
პითაგორას თეორემაში a და b ცვლადები წარმოადგენენ გვერდებს, რომლებიც მართკუთხა სამკუთხედში ხვდებიან, ხოლო ცვლადი c წარმოადგენს ჰიპოტენუზას - გრძელი გვერდი სწორი კუთხის მოპირდაპირედ. ამრიგად, დასაწყისისთვის, მონიშნეთ თქვენი სამკუთხედის მოკლე მხარეები a და b ცვლადებით (არ აქვს მნიშვნელობა შეცვლით მათ) და მონიშნეთ ჰიპოტენუზა ცვლადი c– ით.
ნაბიჯი 3. გადაწყვიტეთ სამკუთხედის რომელი მხარე გსურთ ამოხსნათ
პითაგორას თეორემა მათემატიკოსებს საშუალებას აძლევს იპოვონ მართკუთხა სამკუთხედის ნებისმიერი გვერდის სიგრძე, რამდენადაც მათ იციან დანარჩენი ორი გვერდის სიგრძე. განსაზღვრეთ რომელი მხარე უცნობია - a, b და/ან c. თუ თქვენი რომელიმე მხარის სიგრძე უცნობია, თქვენ მზად ხართ გააგრძელოთ.
- მაგალითად, ჩვენ ვიცით, რომ სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე არის 5 და ერთ -ერთი სხვა გვერდის სიგრძე 3, მაგრამ ჩვენ არ ვართ დარწმუნებული მესამე გვერდის სიგრძეზე. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენ ვეძებთ მესამე მხარის სიგრძეს და რადგან ჩვენ ვიცით დანარჩენი ორის სიგრძე, ჩვენ შეგვიძლია მისი ამოხსნა! ჩვენ ვიმუშავებთ ამ პრობლემაზე შემდეგი ნაბიჯებით.
- თუ თქვენ არ იცით ორი გვერდის სიგრძე, თქვენ უნდა იცოდეთ ერთი მხარე, რომ შეძლოთ პითაგორას თეორემის გამოყენება. ძირითადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციები დაგეხმარებათ, თუ იცით სამკუთხედის ერთი მხარე, რომელიც დახრილი არ არის.
ნაბიჯი 4. შეაერთეთ განტოლებაში თქვენთვის უკვე ცნობილი ორმხრივი მნიშვნელობები
შეაერთეთ თქვენი სამკუთხედის გვერდების სიგრძე განტოლებაში a2 + ბ2 = გ2რა დაიმახსოვრე, რომ a და b არის დახრილი მხარეები, ხოლო c არის ჰიპოტენუზა.
ჩვენს მაგალითში ჩვენ ვიცით ერთ -ერთი მხარის სიგრძე და ჰიპოტენუზა (3 და 5), ასე რომ განტოლება ხდება 3² + b² = 5²
ნაბიჯი 5. მოედანი
თქვენი განტოლების ამოსახსნელად, დაიწყეთ ცნობილი მხარეების კვადრატი. ალტერნატიულად, თუ ეს თქვენთვის უფრო ადვილია, შეგიძლიათ დატოვოთ თქვენი გვერდის სიგრძე კვადრატში და მოგვიანებით გაათანაბროთ.
-
ჩვენს მაგალითში, ჩვენ მოვათავსებთ კვადრატს 3 და 5 ისე, რომ მივიღოთ
ნაბიჯი 9. და
ნაბიჯი 25.რა ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ განტოლება 9 + b² = 25.
ნაბიჯი 6. გადაიტანეთ უცნობი ცვლადი განტოლების მეორე მხარეს
საჭიროების შემთხვევაში გამოიყენეთ ძირითადი ალგებრული ოპერაციები, რათა უცნობი ცვლადი გადავიდეს განტოლების მეორე მხარეს და დანარჩენი ორი ცვლადის კვადრატი მეორე მხარეს. თუ გსურთ ჰიპოტენუზის სიგრძის პოვნა, c უკვე განტოლების მეორე მხარესაა, ასე რომ თქვენ არაფრის გაკეთება არ გჭირდებათ მის გადასატანად.
ჩვენს მაგალითში, ამჟამინდელი განტოლება არის 9 + b² = 25. b² გადასატანად, გამოაკლოთ განტოლების ორივე მხარე 9 -ით, ასე რომ შედეგი არის b² = 16
ნაბიჯი 7. განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი
ახლა მხოლოდ ერთი ცვლადია კვადრატში ერთ მხარეს და რიცხვი მეორეზე. ორივე მხარის კვადრატული ფესვი უცნობი მხარის სიგრძის საპოვნელად.
-
ჩვენს მაგალითში, b² = 16, ორივე მხარის კვადრატული ფესვის აღება b = 4. ამრიგად, ჩვენ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სამკუთხედის უცნობი გვერდის სიგრძეა
ნაბიჯი 4..
ნაბიჯი 8. გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ჭეშმარიტი მართკუთხა სამკუთხედის გვერდების მოსაძებნად
პითაგორას თეორემა დღეს ფართოდ გავრცელებული მიზეზი ის არის, რომ ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას უამრავ პრაქტიკულ სიტუაციაში. ისწავლეთ იცოდეთ მართკუთხა სამკუთხედები რეალურ ცხოვრებაში - ნებისმიერ სიტუაციაში, როდესაც ორი ობიექტი ან სწორი ხაზი ხვდება სწორ კუთხეს და მესამე ობიექტი ან ხაზი უერთდება ორ ობიექტს ან ხაზს დიაგონალზე, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ პითაგორას თეორემა გვერდის სიგრძის საპოვნელად. მეორე, თუ ცნობილია დანარჩენი ორი მხარის სიგრძე.
-
შევეცადოთ რეალური მაგალითი, რომელიც ცოტა უფრო რთულია. კიბე ეყრდნობა შენობას. კიბეების ქვედა ნაწილიდან კედლამდე მანძილი 5 მეტრია. კიბეების სიმაღლე 20 მეტრს აღწევს. კიბე რამდენია?
-
კედლიდან 5 მეტრი და სიმაღლე 20 მეტრი გვეუბნება სამკუთხედის გვერდების სიგრძეზე. ვინაიდან კედელი და მიწა (ვარაუდობენ) ქმნიან სწორ კუთხეს და კიბე დიაგონალურად ეყრდნობა კედელს, ეს განლაგება შეიძლება ჩაითვალოს მართკუთხა სამკუთხედად გვერდის სიგრძით a = 5 და b = 20. კიბის სიგრძე არის ჰიპოტენუზა c, მნიშვნელობა c არ არის ცნობილი. მოდით გამოვიყენოთ პითაგორას თეორემა:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- ფესვი (425) = გ
- c = 20.6. კიბის სავარაუდო სიგრძეა 20.6 მეტრი.
-
მეთოდი 2 დან 2: X-Y ორ წერტილს შორის მანძილის გამოთვლა. თვითმფრინავი
ნაბიჯი 1. იპოვეთ ორი წერტილი X-Y სიბრტყეში
პითაგორას თეორემის გამოყენება ადვილია X-Y სიბრტყის ორ წერტილს შორის სწორი ხაზის მანძილის გამოსათვლელად. ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ არის ორი წერტილის x და y კოორდინატები. ჩვეულებრივ, ეს კოორდინატები იწერება ერთად სახით (x, y).
ამ ორ წერტილს შორის მანძილის საპოვნელად, ჩვენ თითოეულ წერტილს განვიხილავთ, როგორც მართკუთხა სამკუთხედის ერთ – ერთ არასწორ კუთხეს. ამით გაგიადვილდებათ a და b გვერდების სიგრძეების პოვნა, შემდეგ კი გამოითვალოთ ჰიპოტენუზა c, რომელიც არის მანძილი ორ წერტილს შორის
ნაბიჯი 2. დახაზეთ თქვენი ორი წერტილი სურათზე
ჩვეულებრივ X-Y სიბრტყეში, თითოეული წერტილი (x, y), x წარმოადგენს ჰორიზონტალურ კოორდინატს და y წარმოადგენს ვერტიკალურ კოორდინატს. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ მანძილი ორ წერტილს შორის მისი დახატვის გარეშე, მაგრამ ეს მოგცემთ ვიზუალურ სურათს, რომლის საშუალებითაც შეგიძლიათ ნახოთ თქვენი პასუხი სწორია.
ნაბიჯი 3. იპოვეთ თქვენი სამკუთხედის არა დახრილი გვერდის სიგრძე
ორი წერტილის გამოყენებით, როგორც ჰიპოტენუზის მიმდებარე სამკუთხედის კუთხეები, იპოვეთ სამკუთხედის a და b გვერდების სიგრძე. ამის გაკეთება შეგიძლიათ სურათის გამოყენებით ან ფორმულის | x გამოყენებით1 - x2| ჰორიზონტალური მხარისთვის და | y1 - y2| ვერტიკალური მხარისთვის, (x1, y1) როგორც პირველი წერტილი და (x2, y2) როგორც მეორე პუნქტი.
-
მოდით ჩვენი ორი წერტილი იყოს (6, 1) და (3, 5). ჩვენი სამკუთხედის ჰორიზონტალური გვერდის სიგრძეა:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
ნაბიჯი 3.
-
ვერტიკალური მხარის სიგრძეა:
- | y1 - y2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
ნაბიჯი 4.
- ასე რომ, ჩვენს სამკუთხედში, გვერდი a = 3 და გვერდი b = 4.
ნაბიჯი 4. გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ჰიპოტენუზის სიგრძის საპოვნელად
ორ წერტილს შორის მანძილი არის სამკუთხედის ჰიპოტენუზის სიგრძე, რომლის ორი გვერდი თქვენ ახლახან იპოვეთ. გამოიყენეთ პითაგორას თეორემა ჰიპოტენუზის მოსაძებნად, სადაც a არის პირველი მხარის სიგრძე და b არის მეორე მხარის სიგრძე.
-
ჩვენს მაგალითში ჩვენ ვიყენებთ წერტილებს (3, 5) და (6, 1), რომელთა გვერდების სიგრძეა 3 და 4, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ჰიპოტენუზა შემდეგნაირად:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = ფესვი (9+16)
- c = ფესვი (25)
-
c = 5. მანძილი (3, 5) და (6, 1) შორის არის
ნაბიჯი 5..
-
Რჩევები
-
ჰიპოტენუზა ყოველთვის არის:
- მარჯვენა კუთხის მოპირდაპირედ (მარჯვენა კუთხესთან შეხების გარეშე)
- გრძელი გვერდი მართკუთხა სამკუთხედში
- პითაგორას თეორემაში ეწოდება c
- root (x) ნიშნავს x კვადრატულ ფესვს.
- გახსოვდეთ, რომ ყოველთვის შეამოწმეთ თქვენი პასუხები. თუ თქვენი პასუხი არასწორი ჩანს, სცადეთ ხელახლა და სცადეთ ხელახლა.
- თუ სამკუთხედი არ არის მართკუთხა სამკუთხედი, თქვენ გჭირდებათ დამატებითი ინფორმაცია და არა მხოლოდ სხვა ორი გვერდის სიგრძე.
- შემოწმების კიდევ ერთი გზა - ყველაზე გრძელი მხარე უმსხვილესი კუთხის საპირისპიროა და უმოკლესი მხარე უმცირესი კუთხის საპირისპიროა.
- ფიგურები არის გასაღები a, b და c სწორი მნიშვნელობების ჩამოსაწერად. თუ თქვენ მუშაობთ სიუჟეტის პრობლემაზე, აუცილებლად ჩაწერეთ პრობლემა სურათის სახით.
- თუ თქვენ იცით მხოლოდ ერთი მხარის სიგრძე, პითაგორას თეორემა არ მუშაობს. სცადეთ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრია (sin, cos, tan) ან 30-60-90 / 45-45-90 კოეფიციენტები.
