კვადრატული განტოლების ამოხსნის 3 გზა

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2023-12-16 11:21

კვადრატული განტოლება არის განტოლება, რომლის უმაღლესი ხარისხი არის 2 (კვადრატში). კვადრატული განტოლების ამოხსნის სამი ძირითადი გზა არსებობს: თუ შესაძლებელია, კვადრატული განტოლების ფაქტორინგი, კვადრატული ფორმულის გამოყენებით, ან კვადრატის დასრულება. თუ გსურთ დაეუფლოთ ამ სამ მეთოდს, მიჰყევით ამ ნაბიჯებს.

ნაბიჯი

3 მეთოდი 1: ფაქტორინგის განტოლებები

ნაბიჯი 1. შეუთავსეთ ყველა თანაბარი ცვლადი და გადაიტანეთ ისინი განტოლების ერთ მხარეს

განტოლების ფაქტორინგის პირველი ნაბიჯი არის ყველა თანაბარი ცვლადის გადატანა განტოლების ერთ მხარეს, x– ით²არის დადებითი ცვლადების შესაერთებლად დაამატეთ ან გამოაკელით ყველა ცვლადი x², x და მუდმივები (მთელი რიცხვები), გადაიტანეთ ისინი განტოლების მეორე მხარეს ისე, რომ არაფერი დარჩეს მეორე მხარეს. როდესაც მეორე მხარეს არ აქვს დარჩენილი ცვლადები, ჩაწერეთ 0 ტოლობის ნიშნის გვერდით. აქ მოცემულია როგორ გავაკეთოთ ეს:

• 2x² - 8x - 4 = 3x - x²
• 2x² +x² - 8x -3x - 4 = 0
• 3x² - 11x - 4 = 0

ნაბიჯი 2. ამ განტოლების ფაქტორი

ამ განტოლების ფაქტორირებისთვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ x ფაქტორი² (3) და მუდმივი კოეფიციენტი (-4), გავამრავლოთ ისინი და დავამატოთ, რათა მოერგოს ცვლადს შუაში, (-11). აქ მოცემულია როგორ გავაკეთოთ ეს:

• 3x² აქვს მხოლოდ ერთი შესაძლო ფაქტორი, ეს არის 3x და x, შეგიძლიათ ჩაწეროთ ისინი ფრჩხილებში: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
• შემდეგ გამოიყენეთ ელიმინაციის პროცესი 4 – ში, რათა იპოვოთ პროდუქტი, რომელიც იძლევა –11x. შეგიძლიათ გამოიყენოთ 4 და 1, ან 2 და 2, რადგან ორივე გამრავლებით მიიღებთ 4. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ერთი რიცხვი უარყოფითი უნდა იყოს, რადგან შედეგი არის -4.
• სცადეთ (3x + 1) (x - 4). როდესაც მას ამრავლებ, შედეგი არის - 3x² -12x +x -4. თუ აერთიანებთ ცვლადებს -12 x და x, შედეგი არის -11x, რაც არის თქვენი საშუალო მნიშვნელობა. თქვენ უბრალოდ ფაქტორი გააკეთეთ კვადრატული განტოლება.
• მაგალითად, შევეცადოთ სხვა პროდუქტის ფაქტორინგი: (3x -2) (x +2) = 3x² +6x -2x -4. თუ ცვლადებს აერთიანებთ, შედეგი არის 3x² -4x -4. მიუხედავად იმისა, რომ -2 და 2 ფაქტორები გამრავლებისას წარმოქმნის -4, საშუალო არ არის იგივე, რადგან გსურთ მიიღოთ -11x მნიშვნელობა -4x- ის ნაცვლად.

ნაბიჯი 3. დავუშვათ, რომ თითოეული ფრჩხილი ნულის ტოლია სხვადასხვა განტოლებაში

ეს საშუალებას მოგცემთ იპოვოთ 2 x მნიშვნელობა, რაც თქვენს განტოლებას ნულს გახდის. თქვენ გაითვალისწინა თქვენი განტოლება, ამიტომ ყველაფერი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის ვივარაუდოთ, რომ თითოეული ფრჩხილის გაანგარიშება უდრის ნულს. ამრიგად, თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ 3x + 1 = 0 და x - 4 = 0.

ნაბიჯი 4. თითოეული განტოლების ცალკე ამოხსნა

კვადრატულ განტოლებაში არის 2 მნიშვნელობა x- ისთვის. ამოხსენი თითოეული განტოლება ცალ -ცალკე ცვლადების გადაადგილებით და 2 პასუხის ჩაწერა x– ზე, ასე:

• ამოხსენი 3x + 1 = 0

  • 3x = -1….. გამოკლება
  • 3x/3 = -1/3….. გაყოფით
  • x = -1/3….. გამარტივებით

• ამოხსენი x - 4 = 0

  x = 4….. გამოკლების გზით

• x = (-1/3, 4)….. რამდენიმე შესაძლო პასუხის ცალკე გამოყოფით, რაც ნიშნავს x = -1/3 ან x = 4 ორივე შეიძლება იყოს სწორი.

ნაბიჯი 5. შეამოწმეთ x = -1/3 (3x + 1) (x -4) = 0:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. შეცვლით (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. გამარტივებით (0) (-4 1/3) = 0….. გამრავლებით ასე რომ, 0 = 0….. დიახ, x = -1/3 მართალია.

ნაბიჯი 6. შეამოწმეთ x = 4 (3x + 1) (x - 4) = 0:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. შეცვლით (13) (4 - 4)? =? 0….. გამარტივებით (13) (0) = 0….. გამრავლებით ასე რომ, 0 = 0….. დიახ, x = 4 ასევე მართალია.

ასე რომ, ცალკე შემოწმების შემდეგ, ორივე პასუხი სწორია და შეიძლება გამოყენებულ იქნას განტოლებებში

3 მეთოდი 2: კვადრატული ფორმულის გამოყენება

ნაბიჯი 1. შეუთავსეთ ყველა თანაბარი ცვლადი და გადაიტანეთ ისინი განტოლების ერთ მხარეს

გადაიტანეთ ყველა ცვლადი განტოლების ერთ მხარეს, ცვლადი x მნიშვნელობით² დადებითი ჩამოწერეთ ცვლადები თანმიმდევრული მაჩვენებლებით, ისე რომ x² დაწერილი პირველი, რასაც მოჰყვება ცვლადები და მუდმივები. აქ მოცემულია როგორ გავაკეთოთ ეს:

• 4x² - 5x - 13 = x² -5
• 4x² - x² - 5x - 13 +5 = 0
• 3x² - 5x - 8 = 0

ნაბიჯი 2. ჩამოწერეთ კვადრატული ფორმულა

კვადრატული ფორმულაა: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}

ნაბიჯი 3. a, b და c მნიშვნელობების განსაზღვრა კვადრატული განტოლებიდან

ცვლადი a არის კოეფიციენტი x², b არის ცვლადის კოეფიციენტი x, ხოლო c არის მუდმივი. 3x განტოლებისთვის² -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 და c = -8. ჩაწერეთ სამივე.

ნაბიჯი 4. შეცვალეთ a, b და c მნიშვნელობები განტოლებაში

მას შემდეგ რაც იცით სამი ცვლადი მნიშვნელობა, ჩართეთ ისინი ამგვარ განტოლებაში:

• {-b +/- √ (ძვ² - 4ac)}/2
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - 4(3)(-8))}/2(3) =
• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3)

ნაბიჯი 5. შეასრულეთ გამოთვლები

მას შემდეგ რაც შეიყვანთ რიცხვებს, გააკეთეთ მათემატიკა, რომ გაამარტივოთ დადებითი ან უარყოფითი ნიშანი, გაამრავლოთ ან გაათანაბროთ დარჩენილი ცვლადები. აქ მოცემულია როგორ გავაკეთოთ ეს:

• {-(-5) +/-√ ((-5)² - (-96))}/2(3) =
• {5 +/-√(25 + 96)}/6
• {5 +/-√(121)}/6

ნაბიჯი 6. გაამარტივეთ კვადრატული ფესვი

თუ კვადრატული ფესვის ქვეშ რიცხვი არის სრულყოფილი კვადრატი, მიიღებთ მთელ რიცხვს. თუ რიცხვი არ არის სრულყოფილი კვადრატი, გაამარტივეთ მისი უმარტივესი ძირეული ფორმა. თუ რიცხვი უარყოფითია და მიგაჩნიათ, რომ ის უარყოფითი უნდა იყოს, ძირეული მნიშვნელობა გართულდება. ამ მაგალითში, (121) = 11. შეგიძლიათ ჩაწეროთ x = (5 +/- 11)/6.

ნაბიჯი 7. მოძებნეთ დადებითი და უარყოფითი პასუხები

მას შემდეგ რაც ამოიღებთ კვადრატული ფესვის ნიშანს, შეგიძლიათ გააგრძელოთ გზა x– ის დადებითი და უარყოფითი შედეგის პოვნაში. ახლა, როდესაც თქვენ გაქვთ (5 +/- 11)/6, შეგიძლიათ დაწეროთ 2 პასუხი:

• (5 + 11)/6
• (5 - 11)/6

ნაბიჯი 8. დაასრულეთ დადებითი და უარყოფითი პასუხები

შეასრულეთ მათემატიკური გამოთვლები:

• (5 + 11)/6 = 16/6
• (5-11)/6 = -6/6

ნაბიჯი 9. გაამარტივეთ

თითოეული პასუხის გასამარტივებლად გაყავით ყველაზე დიდ რიცხვზე, რომელსაც შეუძლია ორივე რიცხვის გაყოფა. გაყავით პირველი წილადი 2 -ზე და გაყავით მეორე 6 -ზე და თქვენ იპოვით x მნიშვნელობას.

• 16/6 = 8/3
• -6/6 = -1
• x = (-1, 8/3)

მეთოდი 3 -დან 3: შეავსეთ კვადრატი

ნაბიჯი 1. გადაიტანეთ ყველა ცვლადი განტოლების ერთ მხარეს

დარწმუნდით, რომ a ან ცვლადი x² დადებითი აქ მოცემულია როგორ გავაკეთოთ ეს:

• 2x² - 9 = 12x =

• 2x² - 12x - 9 = 0

  ამ განტოლებაში ცვლადი a არის 2, ცვლადი b არის -12 და ცვლადი c არის -9

ნაბიჯი 2. ცვლადი ან მუდმივი c გადაიტანეთ მეორე მხარეს

მუდმივები არის რიცხვითი ტერმინები ცვლადების გარეშე. გადადით განტოლების მარჯვენა მხარეს:

• 2x² - 12x - 9 = 0
• 2x² - 12x = 9

ნაბიჯი 3. გაყავით ორივე მხარე a კოეფიციენტით ან ცვლადი x².

თუ x² არ აქვს ცვლადი და კოეფიციენტი არის 1, შეგიძლიათ გამოტოვოთ ეს ნაბიჯი. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა გაყოთ ყველა ცვლადი 2 -ზე, მაგალითად:

• 2x²/2 - 12x/2 = 9/2 =
• x² - 6x = 9/2

ნაბიჯი 4. გაყავით ბ 2 -ზე, გაყავით კვადრატი და დაამატეთ შედეგი ორივე მხარეს

B– ის მნიშვნელობა ამ მაგალითში არის –6. აქ მოცემულია როგორ გავაკეთოთ ეს:

• -6/2 = -3 =
• (-3)² = 9 =
• x² - 6x + 9 = 9/2 + 9

ნაბიჯი 5. გაამარტივეთ ორივე მხარე

ფაქტორი ცვლადი მარცხენა მხარეს მისაღებად (x-3) (x-3) ან (x-3)²რა დაამატეთ მნიშვნელობები მარჯვნივ, რომ მიიღოთ 9/2 + 9 ან 9/2 + 18/2, რაც არის 27/2.

ნაბიჯი 6. იპოვეთ კვადრატული ფესვი ორივე მხარისთვის

კვადრატული ფესვი (x-3)² არის (x-3). თქვენ შეგიძლიათ ჩაწეროთ 27/2 კვადრატული ფესვი as as (27/2). ამდენად, x - 3 = √ (27/2).

ნაბიჯი 7. გაამარტივეთ ფესვები და იპოვეთ x- ის მნიშვნელობა

Simpl √ (27/2) გასამარტივებლად, იპოვნეთ სრულყოფილი კვადრატი 27 და 2 რიცხვებს შორის ან ფაქტორი რომ რიცხვი. 9 -ის სრულყოფილი კვადრატი შეიძლება მოიძებნოს 27 -ში, რადგან 9 x 3 = 27. კვადრატული ფესვიდან 9 რომ ამოიღოთ, ამოიღეთ ფესვიდან 9 და ჩაწერეთ 3, კვადრატული ფესვი, კვადრატული ფესვის გარეთ. დარჩენილი 3 დატოვეთ კვადრატული ფესვის ქვემოთ მყოფი წილის მრიცხველში, რადგან 27 არ ამუშავებს ყველა ფაქტორს და ჩამოწერეთ 2 ქვემოთ. შემდეგ გადაადგილეთ მუდმივი 3 განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვნივ და ჩაწერეთ თქვენი ორი ამონახსნი x- ზე:

• x = 3 +(√6)/2
• x = 3 - (√6)/2)

Რჩევები

• როგორც ხედავთ, ძირეული ნიშნები მთლიანად არ გაქრება. ამრიგად, მრიცხველის ცვლადები არ შეიძლება გაერთიანდეს (რადგან ისინი არ არიან თანაბარი). აზრი არ აქვს მის დაყოფას დადებითად ან უარყოფითად. თუმცა, ჩვენ შეგვიძლია გავყოთ იგი იმავე ფაქტორით, მაგრამ მხოლოდ თუ ფაქტორები ერთნაირია ორივე მუდმივისთვის და ფესვის კოეფიციენტი.
• თუ კვადრატული ფესვის ქვეშ რიცხვი არ არის სრულყოფილი კვადრატი, მაშინ ბოლო რამდენიმე ნაბიჯი ოდნავ განსხვავდება. აქ არის მაგალითი:
• თუ b არის ლუწი რიცხვი, ფორმულა ხდება: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.