კუბური განტოლების ამოხსნის 3 გზა

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-16 19:38

როდესაც პირველად იპოვით კუბურ განტოლებას (რომელიც არის ფორმის ცული ³ + bx ² + cx + d = 0), იქნებ ფიქრობთ, რომ პრობლემის მოგვარება რთული იქნება. მაგრამ იცოდეთ, რომ კუბური განტოლების ამოხსნა რეალურად საუკუნეების მანძილზე იყო! ეს გამოსავალი, რომელიც აღმოაჩინეს იტალიელმა მათემატიკოსებმა ნიკოლო ტარტალიამ და გერელამო კარდანომ 1500 -იან წლებში, არის ერთ -ერთი პირველი ფორმულა, რომელიც ცნობილია ძველ საბერძნეთსა და რომში. კუბური განტოლების ამოხსნა შეიძლება ცოტა რთული იყოს, მაგრამ სწორი მიდგომით (და საკმარისი ცოდნით), ყველაზე რთული კუბური განტოლებების გადაწყვეტაც კი შეიძლება.

ნაბიჯი

მეთოდი 1 -დან 3: ამოხსნა კვადრატული განტოლების გამოყენებით

ნაბიჯი 1. შეამოწმეთ აქვს თუ არა თქვენს კუბურ განტოლებას მუდმივი

როგორც ზემოთ აღინიშნა, კუბური განტოლების ფორმა არის ცული ³ + bx ² + cx + d = 0. b, c, და d მნიშვნელობა შეიძლება იყოს 0 ამ კუბური განტოლების ფორმაზე ზემოქმედების გარეშე; ეს ძირითადად ნიშნავს იმას, რომ კუბური განტოლება ყოველთვის არ უნდა შეიცავდეს bx მნიშვნელობას ², cx, ან d იყოს კუბური განტოლება. კუბური განტოლებების ამოხსნის ამ საკმაოდ მარტივი მეთოდის გამოყენების დასაწყებად, შეამოწმეთ აქვს თუ არა თქვენს კუბურ განტოლებას მუდმივი (ან d მნიშვნელობა). თუ თქვენს განტოლებას არ აქვს მუდმივი ან მნიშვნელობა d, მაშინ შეგიძლიათ გამოიყენოთ კვადრატული განტოლება, რომ იპოვოთ პასუხი კუბურ განტოლებაზე რამდენიმე ნაბიჯის შემდეგ.

მეორეს მხრივ, თუ თქვენს განტოლებას აქვს მუდმივი მნიშვნელობა, მაშინ სხვა გამოსავალი დაგჭირდებათ. იხილეთ ქვემოთ მოყვანილი ნაბიჯები სხვა მიდგომებისთვის

ნაბიჯი 2. ფაქტორი x მნიშვნელობა კუბური განტოლებიდან

ვინაიდან თქვენს განტოლებას არ აქვს მუდმივი მნიშვნელობა, მასში შემავალ ყველა კომპონენტს აქვს ცვლადი x. ეს ნიშნავს, რომ x- ის მნიშვნელობა შეიძლება განისაზღვროს განტოლებიდან მის გასამარტივებლად. გააკეთეთ ეს ნაბიჯი და გადაწერეთ თქვენი კუბური განტოლება x (ax ² + bx + გ)

მაგალითად, ვთქვათ, რომ თავდაპირველი კუბური განტოლება აქ არის 3 x ³ + -2 x ² + 14 x = 0. ამ განტოლებიდან ერთი ცვლადის ფაქტორინგით ვიღებთ განტოლებას x (3 x ² + -2 x + 14) = 0.

ნაბიჯი 3. გამოიყენეთ კვადრატული განტოლებები ფრჩხილებში განტოლებების ამოხსნისათვის

თქვენ შეიძლება შეამჩნიოთ, რომ თქვენი ზოგიერთი ახალი განტოლება, რომელიც ჩასმულია ფრჩხილებში, არის კვადრატული განტოლების სახით (ცული ² + bx + გ) ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მნიშვნელობა, რომელიც საჭიროა ამ განტოლების ნულის ტოლი a, b და c კვადრატული განტოლების ფორმულაში ჩასმით ({- b +/- √ (b ²- 4 აკ)}/2 ა). შეასრულეთ ეს გამოთვლები, რომ იპოვოთ ორი პასუხი თქვენს კუბურ განტოლებაზე.

• ჩვენს მაგალითში, ჩადეთ a, b და c მნიშვნელობები (შესაბამისად, 3, -2 და 14) კვადრატულ განტოლებაში შემდეგნაირად:

  {- b +/- √ (ბ ²- 4 აკ)}/2 ა

  {-(-2) +/-√ ((-2)²- 4(3)(14))}/2(3)

  {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

  {2 +/-√ (4 - (168)}/6

  {2 +/-√ (-164)}/6

• პასუხი 1:

  {2 + √(-164)}/6

  {2 + 12.8 i}/6

• პასუხი 2:

  {2 - 12.8 i}/6

ნაბიჯი 4. გამოიყენეთ ნული და თქვენი პასუხი თქვენს კვადრატულ განტოლებაზე, როგორც პასუხი თქვენს კუბურ განტოლებაზე

კვადრატულ განტოლებებს ექნებათ ორი პასუხი, ხოლო კუბურ განტოლებებს სამი პასუხი. თქვენ უკვე იცით სამიდან ორი პასუხი; რომელსაც მიიღებთ ფრჩხილებში განტოლების "კვადრატული" ნაწილიდან. თუ თქვენი კუბური განტოლება შეიძლება გადაწყდეს ასე "ფაქტორიზაციის" საშუალებით, თქვენი მესამე პასუხი თითქმის ყოველთვის არის 0 რა Უსაფრთხო! თქვენ უბრალოდ ამოხსენით კუბური განტოლება.

მიზეზი, რის გამოც ეს მეთოდი მუშაობს, არის ფუნდამენტური ფაქტი, რომ "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე უდრის ნულს". როდესაც თქვენ განტოლებას ახდენთ x ფორმაში (ax ² + bx + გ) = 0, თქვენ მხოლოდ მას ყოფთ ორ „ნაწილად“; ერთი ნაწილი არის x ცვლადი მარცხენა მხარეს და მეორე ნაწილი არის კვადრატული განტოლება ფრჩხილებში. თუ ამ ორი ნაწილიდან ერთი არის ნული, მაშინ მთელი განტოლება ასევე იქნება ნული. ამრიგად, ფრჩხილებში კვადრატული განტოლების ორი პასუხი, რაც მას ნულს გახდის, არის პასუხები კუბურ განტოლებაზე, ისევე როგორც თავად 0 - რაც მარცხენა მხარის ნაწილსაც ნულს გახდის.

3 მეთოდი 2: მთელი რიცხვის პასუხების მოძიება ფაქტორთა სიის გამოყენებით

ნაბიჯი 1. დარწმუნდით, რომ თქვენს კუბურ განტოლებას აქვს მუდმივი მნიშვნელობა

მიუხედავად იმისა, რომ ზემოთ აღწერილი მეთოდები საკმაოდ ადვილი გამოსაყენებელია, რადგან თქვენ არ გჭირდებათ ახალი გამოთვლების ტექნიკის სწავლა მათ გამოსაყენებლად, ისინი ყოველთვის არ დაგეხმარებიან კუბური განტოლების ამოხსნაში. თუ თქვენი კუბური განტოლება არის ცულის ფორმა ³ + bx ² + cx + d = 0, სადაც d მნიშვნელობა არ არის ნულის ტოლი, ზემოთ "ფაქტორიზაციის" მეთოდი არ მუშაობს, ასე რომ თქვენ მოგიწევთ ამ განყოფილების ერთ -ერთი მეთოდის გამოყენება ამის მოსაგვარებლად.

მაგალითად, ვთქვათ, გვაქვს განტოლება 2 x ³ + 9 x ² + 13 x = -6. ამ შემთხვევაში, განტოლების მარჯვენა მხარეს ნულის მისაღებად, ორივე მხარეს უნდა დავუმატოთ 6. ამის შემდეგ, ჩვენ მივიღებთ ახალ განტოლებას 2 x ³ + 9 x ² + 13 x + 6 = 0, d = 6 მნიშვნელობით, ამიტომ ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვიყენოთ "ფაქტორიზაციის" მეთოდი, როგორც წინა მეთოდში.

ნაბიჯი 2. იპოვეთ a და d ფაქტორები

კუბური განტოლების გადასაჭრელად, დაიწყეთ a ფაქტორის პოვნით (x კოეფიციენტი x ³) და d (მუდმივი მნიშვნელობა განტოლების ბოლოს). დაიმახსოვრე, ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც შეიძლება გამრავლდეს ერთმანეთზე გარკვეული რიცხვის მისაღებად. მაგალითად, რადგან თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ 6 გამრავლებით 6 × 1 და 2 × 3, 1, 2, 3 და 6 არის 6 – ის ფაქტორები.

• მაგალითში, რომელსაც ჩვენ ვიყენებთ, a = 2 და d = 6. ფაქტორი 2 არის 1 და 2 რა მაშინ როცა 6 -ის ფაქტორია 1, 2, 3 და 6.

  

  ნაბიჯი 3. ფაქტორი a გავყოთ d ფაქტორით

  შემდეგი, ჩამოთვალეთ ღირებულებები, რომლებიც მიიღება a– ს თითოეული ფაქტორის d– ის ფაქტორზე გაყოფით. ეს გაანგარიშება ჩვეულებრივ იწვევს ბევრ წილადი მნიშვნელობას და რამდენიმე მთელ რიცხვს. მთელი რიცხვი თქვენი კუბური განტოლების ამოსახსნელად არის ერთ -ერთი მთელი რიცხვი, რომელიც მიიღება გაანგარიშებით.

  ჩვენს განტოლებაში გაყავით a (1, 2) ფაქტორის მნიშვნელობა d ფაქტორზე (1, 2, 3, 6) და მიიღეთ შემდეგი შედეგები: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 და 2/3. შემდეგი, დაამატეთ ნეგატიური მნიშვნელობები სიაში და მივიღებთ: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 და -2/3 რა პასუხი კუბურ განტოლებაზე - რომელიც არის მთელი რიცხვი, არის სიაში.

  

  ნაბიჯი 4. გამოიყენეთ სინთეზური დაყოფა თქვენი პასუხების ხელით შესამოწმებლად

  მას შემდეგ რაც გექნებათ ღირებულებების ჩამონათვალი, როგორც ზემოთ მოყვანილი, შეგიძლიათ მოიძიოთ მთელი რიცხვები, რომლებიც არის პასუხები თქვენს კუბურ განტოლებაზე თითოეული რიცხვის ხელით შეყვანისას და იპოვოთ რომელი მნიშვნელობა დააბრუნებს ნულს. თუმცა, თუ თქვენ არ გსურთ დროის დახარჯვა ამის გასაკეთებლად, არსებობს გზა ამის გაკეთება უფრო სწრაფად, კერძოდ გაანგარიშებით, რომელსაც სინთეზური გაყოფა ეწოდება. ძირითადად, თქვენ გაყოფდით თქვენს მთელ მნიშვნელობას a, b, c და d– ის თავდაპირველ კოეფიციენტებზე თქვენს კუბურ განტოლებაში. თუ ნარჩენი არის ნული, მაშინ ეს მნიშვნელობა არის ერთ -ერთი პასუხი თქვენს კუბურ განტოლებაზე.

  • სინთეზური დაყოფა რთული თემაა - დამატებითი ინფორმაციისთვის იხილეთ ქვემოთ მოცემული ბმული. აქ არის მაგალითი იმისა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ ერთ – ერთი პასუხი თქვენს კუბურ განტოლებაზე სინთეზური გაყოფით:

    -1 | 2 9 13 6

    _| -2-7-6

    _| 2 7 6 0

    ვინაიდან ჩვენ ვიღებთ 0 – ის ტოლ საბოლოო შედეგს, ჩვენ ვიცით, რომ ჩვენი კუბური განტოლების ერთ – ერთი მთლიანი პასუხია - 1.

  მეთოდი 3 -დან 3: დისკრიმინაციული მიდგომის გამოყენება

  

  ნაბიჯი 1. ჩამოწერეთ განტოლებები a, b, c და d

  კუბურ განტოლებაზე ამ გზით პასუხის მოსაძებნად, ჩვენ გავაკეთებთ უამრავ გამოთვლას ჩვენს განტოლებაში არსებული კოეფიციენტებით. ამის გამო, კარგი იდეაა ჩაწეროთ a, b, c და d მნიშვნელობები, სანამ დაივიწყებთ რომელიმე ღირებულებას.

  მაგალითად, x განტოლებისთვის ³ - 3 x ² + 3 x -1, ჩაწერეთ როგორც = 1, b = -3, c = 3 და d = -1. ნუ დაგავიწყდებათ, რომ როდესაც ცვლადს x არ აქვს კოეფიციენტი, მისი მნიშვნელობა არის 1.

  

  ნაბიჯი 2. გამოთვალეთ 0 = b ² - 3 კონდიციონერი.

  კუბურ განტოლებებზე პასუხების მოძიების დისკრიმინაციული მიდგომა მოითხოვს რთულ გამოთვლებს, მაგრამ თუ ნაბიჯებს ფრთხილად მიჰყვებით, ეს შეიძლება ძალიან სასარგებლო აღმოჩნდეს კუბური განტოლების ამოსახსნელად, რომელთა გადაჭრა სხვაგვარად რთულია. დასაწყისისთვის, იპოვნეთ 0 მნიშვნელობა, რომელიც არის რამდენიმე მნიშვნელოვანი მნიშვნელობის პირველი მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა, ჩადეთ შესაბამისი მნიშვნელობა ფორმულაში b ² - 3 კონდიციონერი.

  • მაგალითში, რომელსაც ჩვენ ვიყენებთ, ჩვენ ამას მოვაგვარებთ შემდეგნაირად:

    ბ ² - 3 აკ

    (-3)² - 3(1)(3)

    9 - 3(1)(3)

    9 - 9 = 0 = 0

  

  ნაბიჯი 3. გამოთვალეთ 1 = 2 ბ ³ - 9 abc + 27 a ² დ

  შემდეგი მნიშვნელოვანი მნიშვნელობა, რომელიც ჩვენ გვჭირდება, 1, მოითხოვს უფრო ხანგრძლივ გამოთვლას, მაგრამ მისი პოვნა შესაძლებელია ისევე, როგორც 0. ჩადეთ შესაბამისი მნიშვნელობა ფორმულაში 2 ბ ³ - 9 abc + 27 a ² d მიიღოს 1 მნიშვნელობა.

  • ამ მაგალითში ჩვენ ვხსნით მას შემდეგნაირად:

    2(-3)³ - 9(1)(-3)(3) + 27(1)²(-1)

    2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

    -54 + 81 - 27

    81 - 81 = 0 = 1

  

  ნაბიჯი 4. გამოთვლა = 1² - 4Δ0³) -27 ა ².

  შემდეგი, ჩვენ გამოვთვლით 0 და 1 მნიშვნელობების "დისკრიმინაციულ" მნიშვნელობას. დისკრიმინატორი არის რიცხვი, რომელიც მოგაწვდით ინფორმაციას მრავალწევრის ძირის შესახებ (თქვენ შეიძლება ქვეცნობიერად დაიმახსოვროთ კვადრატული დისკრიმინაციული ფორმულა: ბ ² - 4 კონდიციონერი). კუბური განტოლების შემთხვევაში, თუ დისკრიმინატორის მნიშვნელობა დადებითია, მაშინ განტოლებას აქვს სამი რეალური რიცხვითი პასუხი. თუ დისკრიმინაციული მნიშვნელობა ნულის ტოლია, მაშინ განტოლებას აქვს ერთი ან ორი რეალური რიცხვითი პასუხი, ზოგიერთ პასუხს კი იგივე მნიშვნელობა აქვს. თუ მნიშვნელობა უარყოფითია, მაშინ განტოლებას აქვს მხოლოდ ერთი რეალური რიცხვითი პასუხი, რადგან განტოლების გრაფიკი ყოველთვის კვეთს x ღერძს ერთხელ მაინც.)

  • ამ მაგალითში, რადგან 0 და 1 = 0, მნიშვნელობის პოვნა ძალიან ადვილია. ჩვენ უბრალოდ უნდა გამოვთვალოთ იგი შემდეგი გზით:

    1² - 4Δ0³) -27 ა ²

    (0)² - 4(0)³) ÷ -27(1)²

    0 - 0 ÷ 27

    0 =, ასე რომ, ჩვენს განტოლებას აქვს 1 ან 2 პასუხი.

  

  ნაბიჯი 5. გამოთვალეთ C = ³(((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2).

  ბოლო მნიშვნელობა, რაც ჩვენთვის მნიშვნელოვანია მივიღოთ არის C მნიშვნელობა. ეს მნიშვნელობა გვაძლევს საშუალებას მივიღოთ ჩვენი კუბური განტოლების სამივე ფესვი. ამოხსენი ჩვეულებისამებრ, შეაერთე 1 და 0 მნიშვნელობები ფორმულაში.

  • ამ მაგალითში ჩვენ მივიღებთ C მნიშვნელობას შემდეგით:

    ³(√ ((Δ1² - 4Δ0³) + 1)/ 2)

    ³√(√((0² - 4(0)³) + (0))/ 2)

    ³√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

    0 = გ

  

  ნაბიჯი 6. გამოთვალეთ განტოლების სამი ფესვი თქვენი ცვლადით

  თქვენი კუბური განტოლების ფესვი (პასუხი) განისაზღვრება ფორმულით (ბ + უ C + (Δ0/u გ)) / 3 ა, სადაც u = (-1 + (-3))/2 და n უდრის 1, 2, ან 3. შეაერთეთ თქვენი მნიშვნელობები ფორმულაში მათ მოსაგვარებლად-შეიძლება დაგჭირდეთ საკმაოდ ბევრი გამოთვლა, მაგრამ თქვენ უნდა მიიღოთ თქვენი სამივე კუბური განტოლების პასუხი!

  • ამ მაგალითში, ჩვენ შეგვიძლია მოვაგვაროთ ის პასუხების შემოწმებით, როდესაც n უდრის 1, 2 და 3. პასუხი, რომელსაც ვიღებთ ამ გაანგარიშებიდან არის ჩვენი კუბური განტოლების შესაძლო პასუხი - ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელსაც ჩავრთავთ კუბურ განტოლებაში და ის იძლევა იგივე შედეგი. 0 -ით არის სწორი პასუხი. მაგალითად, თუ მივიღებთ 1 – ის ტოლ პასუხს, თუ ჩვენი ერთ – ერთი გაანგარიშების ექსპერიმენტი, 1 – ის მნიშვნელობის ჩასმა x განტოლებაში ³ - 3 x ² + 3 x - 1 იძლევა საბოლოო შედეგს 0. ტოლი ამდენად

    Ნაბიჯი 1. არის ჩვენი კუბური განტოლების ერთ -ერთი პასუხი.