გამოთვლის 4 გზა

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-19 22:13

წარმოებულები შეიძლება გამოყენებულ იქნას გრაფიკიდან სასარგებლო მახასიათებლების გამოსაყვანად, როგორიცაა მაქსიმალური, მინიმალური, პიკი, ღრუ და ფერდობის მნიშვნელობები. თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ის რთული განტოლებების გრაფიკულად გამოთვლის გარეშე! სამწუხაროდ, წარმოებულებზე მუშაობა ხშირად დამღლელია, მაგრამ ეს სტატია დაგეხმარებათ რამდენიმე რჩევით და ხრიკით.

ნაბიჯი

ნაბიჯი 1. მიღებული აღნიშვნის გაგება

შემდეგი ორი აღნიშვნა ყველაზე ხშირად გამოიყენება, თუმცა ბევრი სხვა შეგიძლიათ იხილოთ აქ ვიკიპედიაზე.

• ლაიბნიცის აღნიშვნა ეს აღნიშვნა არის ყველაზე ხშირად გამოყენებული აღნიშვნა, როდესაც განტოლება მოიცავს y და x. dy/dx სიტყვასიტყვით ნიშნავს y– ს წარმოებულს x– ს მიმართ. შეიძლება სასარგებლო იყოს მისი წარმოდგენა როგორც y/Δx ძალიან განსხვავებული მნიშვნელობებისათვის x და y. ეს ახსნა იწვევს წარმოებული ზღვრის განსაზღვრას: lim_{h-> 0} (f (x+h) -f (x))/სთ ამ აღნიშვნის გამოყენებისას მეორე წარმოებულისთვის, თქვენ უნდა დაწეროთ: დ²y/dx².
• ლაგრანჟის აღნიშვნა f ფუნქციის წარმოებული ასევე იწერება როგორც f '(x). ეს აღნიშვნა კითხულობს f აქცენტირებული x. ეს აღნიშვნა უფრო მოკლეა, ვიდრე ლაიბნიცის აღნიშვნა და სასარგებლოა წარმოებულების ფუნქციების განხილვისას. წარმოქმნის უფრო დიდი ხარისხის შესაქმნელად, უბრალოდ დაამატეთ 'f- ს, ასე რომ მეორე წარმოებული იქნება f' '(x).

ნაბიჯი 2. გააცნობიერე წარმოებულის მნიშვნელობა და წარმოშობის მიზეზები

პირველი, წრფივი გრაფის ფერდობის საპოვნელად, აღებულია ხაზის ორი წერტილი და მათი კოორდინატები შედის განტოლებაში (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). თუმცა, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას მხოლოდ ხაზოვანი გრაფიკებისათვის. კვადრატული განტოლებებისთვის და უფრო მაღალი, ხაზი იქნება მრუდი, ამიტომ ორ წერტილს შორის სხვაობის პოვნა არ არის ძალიან ზუსტი. მოსახვევ გრაფაში ტანგენსის ფერდობის საპოვნელად ორი წერტილია აღებული და მოთავსებულია ზოგად განტოლებაში მრუდის გრაფის ფერდობის მოსაძებნად: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx აღნიშნავს დელტა x- ს, რაც არის განსხვავება ორ x კოორდინატს შორის გრაფიკის ორ წერტილში. გაითვალისწინეთ, რომ ეს განტოლება იგივეა, რაც (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), მხოლოდ სხვა ფორმით. ვინაიდან ცნობილი იყო, რომ შედეგები არაზუსტი იქნებოდა, არაპირდაპირი მიდგომა იქნა გამოყენებული. (X, f (x)) ტანგენსის ფერდობის საპოვნელად, dx უნდა იყოს 0 -თან ახლოს, ისე რომ ორი დახატული წერტილი გაერთიანდეს ერთ წერტილში. თუმცა, თქვენ არ შეგიძლიათ გაყოთ 0, ასე რომ მას შემდეგ რაც შეიყვანთ ორპუნქტიანი მნიშვნელობებს, თქვენ მოგიწევთ გამოიყენოთ ფაქტორინგი და სხვა მეთოდები, რომ ამოიღოთ dx განტოლების ბოლოდან. მას შემდეგ რაც ამას გააკეთებთ, გააკეთეთ dx 0 და დაასრულეთ. ეს არის ტანგენსის დახრილობა (x, f (x)). განტოლების წარმოებული არის ზოგადი განტოლება გრაფიკზე ნებისმიერი ტანგენსის ფერდობის საპოვნელად. ეს შეიძლება ძალიან რთულად მოგეჩვენოთ, მაგრამ ქვემოთ მოცემულია რამდენიმე მაგალითი, რომელიც დაგეხმარებათ აგიხსნათ, თუ როგორ მიიღოთ წარმოებული.

მეთოდი 1 -დან 4: აშკარა წარმოებულები

ნაბიჯი 1. გამოიყენეთ მკაფიო წარმოებული, თუ თქვენს განტოლებას უკვე აქვს y ერთ მხარეს

ნაბიჯი 2. შეაერთეთ განტოლება განტოლებაში [f (x + dx) - f (x)]/dx

მაგალითად, თუ განტოლება არის y = x², წარმოებული იქნება [(x + dx)² - x²]/დქს.

ნაბიჯი 3. გააფართოვეთ და ამოიღეთ dx, რომ შეიქმნას განტოლება [dx (2x + dx)]/dx

ახლა თქვენ შეგიძლიათ გადააგდოთ ორი dx ზედა და ქვედა. შედეგი არის 2x + dx, ხოლო რაც dx ნულს უახლოვდება, წარმოებული არის 2x. ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკის ნებისმიერი ტანგენსის დახრილობა y = x² არის 2x უბრალოდ შეიყვანეთ x- მნიშვნელობა იმ წერტილისთვის, რომლისთვისაც გსურთ ფერდობის პოვნა.

ნაბიჯი 4. ისწავლეთ მსგავსი განტოლების წარმოების ნიმუშები

Აი ზოგიერთი მაგალითი.

• ნებისმიერი ექსპონენტი არის ძალა გამრავლებული მნიშვნელობაზე, გაიზარდა სიმძლავრეზე 1 -ზე ნაკლები. მაგალითად, x- ის წარმოებული⁵ არის 5x⁴და x- ის წარმოებული^{3, 5} iis3, 5x^{2, 5}რა თუ x– ის წინ უკვე არის რიცხვი, უბრალოდ გაამრავლეთ იგი ძალაზე. მაგალითად 3x- ის წარმოებული⁴ არის 12x³.
• ნებისმიერი მუდმივის წარმოებული არის ნული. ასე რომ, 8 -ის წარმოებული არის 0.
• ჯამის წარმოებული არის შესაბამისი წარმოებულების ჯამი. მაგალითად, x– ის წარმოებული³ + 3x² არის 3x² + 6x
• პროდუქტის წარმოებული არის პირველი ფაქტორი გამრავლებული მეორე ფაქტორის პლუს მეორე ფაქტორი გამრავლებულია პირველი ფაქტორის წარმოებულზე. მაგალითად, x– ის წარმოებული³(2x + 1) არის x³(2) + (2x + 1) 3x², რაც უდრის 8x³ + 3x².
• კოეფიციენტის (ვთქვათ, f/g) წარმოებული არის [g (f– ის წარმოებული) - f (g– ის წარმოებული]/g²რა მაგალითად, წარმოებული (x² + 2x - 21)/(x - 3) არის (x² - 6x + 15)/(x - 3)².

მეთოდი 2 დან 4: ნაგულისხმევი წარმოებულები

ნაბიჯი 1. გამოიყენეთ ნაგულისხმევი წარმოებულები, თუ თქვენი განტოლება უკვე არ არის დაწერილი y ერთ მხარეს

სინამდვილეში, თუ თქვენ დაწერეთ y ერთ მხარეს, dy/dx გამოთვლა დამღლელი იქნება. აქ არის მაგალითი იმისა, თუ როგორ შეგიძლიათ ამ ტიპის განტოლების ამოხსნა.

ნაბიჯი 2. ამ მაგალითში x²y + 2y³ = 3x + 2y, შეცვალეთ y f (x), ასე რომ თქვენ გახსოვთ, რომ y სინამდვილეში არის ფუნქცია.

შემდეგ განტოლება ხდება x²f (x) + 2 [f (x)]³ = 3x + 2f (x).

ნაბიჯი 3. ამ განტოლების წარმოებულის საპოვნელად, გამოიტანეთ განტოლების ორივე მხარე x– ს მიმართ

შემდეგ განტოლება ხდება x²f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]²f '(x) = 3 + 2f' (x).

ნაბიჯი 4. შეცვალეთ f (x) ისევ y- ით

ფრთხილად იყავით, რომ არ შეცვალოთ f '(x), რომელიც განსხვავდება f (x) - ისგან.

ნაბიჯი 5. იპოვეთ f '(x)

ამ მაგალითზე პასუხი ხდება (3 - 2xy)/(x² + 6 წელი² - 2).

მეთოდი 3 დან 4: უმაღლესი ორდენის წარმოებულები

ნაბიჯი 1. უმაღლესი რიგის ფუნქციის დადგენა ნიშნავს იმას, რომ თქვენ იღებთ წარმოებულს (ბრძანებით 2)

მაგალითად, თუ პრობლემა მოგთხოვთ მესამე რიგის გამოტანას, მაშინ უბრალოდ მიიღეთ წარმოებულის წარმოებულის წარმოებული. ზოგიერთი განტოლებისთვის, უმაღლესი რიგის წარმოებული იქნება 0.

მეთოდი 4 დან 4: ჯაჭვის წესი

ნაბიჯი 1. თუ y არის z– ის დიფერენციალური ფუნქცია, ხოლო z არის x– ის დიფერენციალური ფუნქცია, y არის x– ის კომპოზიციური ფუნქცია, ხოლო y– ის წარმოებული x– თან მიმართებაში (dy/dx) არის (dy/du)* (du/dx)

ჯაჭვის წესი ასევე შეიძლება იყოს ძალაუფლების განტოლების კომბინაცია, მაგალითად: (2x⁴ - x)³რა წარმოებულის საპოვნელად, უბრალოდ იფიქრეთ გამრავლების წესის მსგავსად. გაამრავლეთ განტოლება სიმძლავრეზე და 1 -ით შემცირდით სიმძლავრეზე. შემდეგ, გავამრავლოთ განტოლება ფრჩხილებში განტოლების წარმოებულზე, რომელიც ზრდის ძალას (ამ შემთხვევაში, 2x^4 - x). ამ კითხვაზე პასუხი არის 3 (2x⁴ - x)²(8x³ - 1).

Რჩევები

• როდესაც ხედავთ რთულ პრობლემას, არ ინერვიულოთ. უბრალოდ ეცადე დაიყოს ის რაც შეიძლება მეტ პატარა ნაწილად, გამრავლების, კოეფიციენტის და ა. შემდეგ შეამცირეთ თითოეული ნაწილი.
• ივარჯიშეთ გამრავლების წესით, კოეფიციენტის წესით, ჯაჭვის წესით და განსაკუთრებით, ნაგულისხმევი წარმოებულებით, რადგან ეს წესები გაცილებით რთულია გაანგარიშებისას.
• კარგად ესმით თქვენი კალკულატორი; სცადეთ კალკულატორის სხვადასხვა ფუნქციები, რომ ისწავლოთ მათი გამოყენება. ძალიან სასარგებლოა იმის ცოდნა, თუ როგორ გამოიყენოთ ტანგენტები და წარმოებული ფუნქციები თქვენს კალკულატორში, თუ ისინი ხელმისაწვდომია.
• დაიმახსოვრე ძირითადი ტრიგონომეტრიული წარმოებულები და როგორ გამოვიყენო ისინი.