თითოეულ ფუნქციას აქვს ორი ცვლადი, კერძოდ დამოუკიდებელი ცვლადი და დამოკიდებული ცვლადი. ფაქტიურად დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობა „დამოკიდებულია“დამოუკიდებელ ცვლადზე. მაგალითად, ფუნქციაში y = f (x) = 2 x + y, x არის დამოუკიდებელი ცვლადი და y არის დამოკიდებული ცვლადი (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, y არის x ფუნქცია). ცნობილი ცვლადის მოქმედი მნიშვნელობები ეწოდება "წარმოშობის დომენებს". ცნობილი y ცვლადის მოქმედ მნიშვნელობებს ეწოდება "შედეგების დიაპაზონი".
ნაბიჯი
მე –3 ნაწილი 1: ფუნქციის დომენის პოვნა
ნაბიჯი 1. გადაწყვიტეთ რა ტიპის ფუნქციის შესრულებას აპირებთ
ფუნქციის დომენი არის ყველა x- მნიშვნელობა (ჰორიზონტალური ღერძი), რომელიც დააბრუნებს მოქმედ y- მნიშვნელობებს. ფუნქციის განტოლება შეიძლება იყოს კვადრატული, წილადი ან შეიცავდეს ფესვს. ფუნქციის დომენის გამოსათვლელად, პირველი რაც თქვენ უნდა გააკეთოთ არის განტოლების ცვლადების შესწავლა.
- კვადრატულ ფუნქციას აქვს ფორმა ცული2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- ფუნქციების მაგალითები წილადებით მოიცავს: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), და სხვა.
- ფუნქციები, რომლებსაც აქვთ ფესვები, მოიცავს: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x და ასე შემდეგ.
ნაბიჯი 2. ჩაწერეთ დომენი სათანადო აღნიშვნებით
ფუნქციის დომენის წერა მოიცავს კვადრატული ფრჩხილების [,] ასევე ფრჩხილების (,) გამოყენებას. გამოიყენეთ კვადრატული ფრჩხილები [,] თუ ნომერი ეკუთვნის დომენს და გამოიყენეთ ფრჩხილები (,) თუ დომენი არ შეიცავს რიცხვს. ასო U აღნიშნავს კავშირს, რომელიც აკავშირებს დომენის ნაწილებს, რომლებიც შეიძლება დაშორდეს მანძილით.
- მაგალითად, [-2, 10) U (10, 2] დომენი მოიცავს -2 და 2 -ს, მაგრამ არ შეიცავს რიცხვს 10.
- ყოველთვის გამოიყენეთ ფრჩხილები () თუ თქვენ იყენებთ უსასრულობის სიმბოლოს,.
ნაბიჯი 3. დახაზეთ კვადრატული განტოლების გრაფიკი
კვადრატული განტოლებები წარმოქმნის პარაბოლური გრაფიკს, რომელიც იხსნება ზემოთ ან ქვემოთ. იმის გათვალისწინებით, რომ პარაბოლა გაგრძელდება უსასრულობა x ღერძზე, კვადრატული განტოლებათა უმეტესობა არის ყველა რეალური რიცხვი. სხვაგვარად რომ ვთქვათ, კვადრატული განტოლება მოიცავს ყველა x მნიშვნელობას რიცხვით ხაზზე, რაც იძლევა დომენს რ (სიმბოლო ყველა რეალური რიცხვისთვის).
- ფუნქციის გადასაჭრელად აირჩიეთ ნებისმიერი x მნიშვნელობა და შეიყვანეთ იგი ფუნქციაში. ფუნქციის ამოხსნა x მნიშვნელობით დააბრუნებს y მნიშვნელობას. X და y მნიშვნელობები არის ფუნქციის გრაფიკის (x, y) კოორდინატები.
- ჩამოაყალიბეთ ეს კოორდინატები გრაფიკზე და გაიმეორეთ პროცესი სხვა x მნიშვნელობით.
- ამ მოდელის ზოგიერთი მნიშვნელობის შედგენა მოგცემთ კვადრატული ფუნქციის ფორმის მიმოხილვას.
ნაბიჯი 4. თუ ფუნქციის განტოლება არის წილადი, მნიშვნელი გახადეთ ნულის ტოლი
წილადებთან მუშაობისას ნულს ვერასოდეს გაყოფთ. მნიშვნელის ნულის ტოლფასი და x მნიშვნელობის პოვნით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფუნქციებიდან ამონაწერი მნიშვნელობები.
- მაგალითად: f (x) = ფუნქციის დომენის განსაზღვრა (x+1)/(x - 1).
- ფუნქციის მნიშვნელი არის (x - 1).
- გახადეთ მნიშვნელი ნულის ტოლი და გამოთვალეთ x- ის მნიშვნელობა: x - 1 = 0, x = 1.
- ჩამოწერეთ დომენი: ფუნქციის დომენი არ შეიცავს 1 -ს, მაგრამ მოიცავს ყველა რეალურ რიცხვს 1 -ის გარდა; ამიტომ, დომენი არის (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) შეიძლება წაიკითხოს როგორც ყველა რეალური რიცხვის კრებული გარდა 1. სიმბოლო უსასრულობის,, წარმოადგენს ყველა რეალურ რიცხვს. ამ შემთხვევაში, ყველა რეალური რიცხვი 1 -ზე მეტი და 1 -ზე ნაკლები შედის დომენში.
ნაბიჯი 5. თუ განტოლება არის ძირეული ფუნქცია, გააკეთეთ ძირეული ცვლადები ნულზე მეტი ან ტოლი
თქვენ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი; ამიტომ, ნებისმიერი x მნიშვნელობა, რომელიც იწვევს უარყოფით რიცხვს, უნდა ამოღებულ იქნას ფუნქციის დომენიდან.
- მაგალითად: იპოვეთ ფუნქციის დომენი f (x) = (x + 3).
- ფესვის ცვლადებია (x + 3).
- გააკეთეთ მნიშვნელობა ნულზე მეტი ან ტოლი: (x + 3) 0.
- გამოთვალეთ მნიშვნელობა x: x -3. ამოხსენი x: x -3.
- ფუნქციის დომენი მოიცავს ყველა რეალურ რიცხვს -3 -ზე მეტი ან ტოლი; ამიტომ, დომენი არის [-3,].
3 ნაწილი 2: კვადრატული განტოლების დიაპაზონის პოვნა
ნაბიჯი 1. დარწმუნდით, რომ გაქვთ კვადრატული ფუნქცია
კვადრატულ ფუნქციას აქვს ფორმა ცული2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, რომელიც იხსნება ზემოთ ან ქვემოთ. ფუნქციის დიაპაზონის გამოანგარიშების სხვადასხვა გზა არსებობს იმისდა მიხედვით, თუ რომელ ფუნქციაზე მუშაობთ.
სხვა ფუნქციების დიაპაზონის განსაზღვრის უმარტივესი გზა, როგორიცაა ძირეული ფუნქცია ან წილადის ფუნქცია, არის ფუნქციის გრაფიკულად გრაფიკული კალკულატორის გამოყენებით
ნაბიჯი 2. იპოვეთ ფუნქციის წვეროს x- მნიშვნელობა
კვადრატული ფუნქციის წვერო არის პარაბოლას წვერო. გახსოვდეთ, კვადრატული ფუნქციის ფორმა არის ცული2 + bx + c X- კოორდინატის საპოვნელად გამოიყენეთ განტოლება x = -b/2a. განტოლება არის ძირითადი კვადრატული ფუნქციის წარმოებული, რომელიც წარმოადგენს განტოლებას ნულოვანი ფერდობზე/ფერდობზე (გრაფის მწვერვალზე ფუნქციის გრადიენტი ნულია).
- მაგალითად, იპოვეთ 3x დიაპაზონი2 + 6x -2.
- წვერის x კოორდინატის გამოთვლა: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
ნაბიჯი 3. გამოთვალეთ ფუნქციის წვერის y მნიშვნელობა
შეაერთეთ x კოორდინატი ფუნქციაში, რათა გამოთვალოთ წვერის შესაბამისი y- მნიშვნელობა. ეს y მნიშვნელობა მიუთითებს ფუნქციის დიაპაზონის ლიმიტზე.
- გამოთვალეთ y- კოორდინატი: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- ამ ფუნქციის მწვერვალია (-1, -5).
ნაბიჯი 4. განსაზღვრეთ პარაბოლის მიმართულება მინიმუმ ერთი x მნიშვნელობის დამატებით
შეარჩიეთ ნებისმიერი სხვა x მნიშვნელობა და შეაერთეთ იგი ფუნქციაში, რათა გამოთვალოთ შესაბამისი y მნიშვნელობა. თუ y- მნიშვნელობა მწვერვალზე მაღლაა, პარაბოლა განაგრძობს +to -მდე. თუ y- მნიშვნელობა არის მწვერვალის ქვემოთ, პარაბოლა გაგრძელდება -∞.
- გამოიყენეთ x- მნიშვნელობა -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- ეს გაანგარიშება აბრუნებს კოორდინატებს (-2, -2).
- ეს კოორდინატები გაჩვენებთ, რომ პარაბოლა გრძელდება წვერის ზემოთ (-1, -5); შესაბამისად, დიაპაზონი მოიცავს ყველა y მნიშვნელობას, რომელიც აღემატება -5 -ს.
- ამ ფუნქციის დიაპაზონი არის [-5,].
ნაბიჯი 5. ჩაწერეთ დიაპაზონი შესაბამისი აღნიშვნებით
დომენების მსგავსად, დიაპაზონები იწერება ერთიდაიგივე აღნიშვნით. გამოიყენეთ კვადრატული ფრჩხილები [,] თუ რიცხვი დიაპაზონშია და გამოიყენეთ ფრჩხილები (,) თუ დიაპაზონი არ შეიცავს რიცხვს. ასო U მიუთითებს გაერთიანებაზე, რომელიც აკავშირებს დიაპაზონის ნაწილებს, რომლებიც შეიძლება დაშორდეს მანძილით.
- მაგალითად, დიაპაზონი [-2, 10) U (10, 2] მოიცავს -2 და 2, მაგრამ არ შეიცავს რიცხვს 10.
- ყოველთვის გამოიყენეთ ფრჩხილები, თუ იყენებთ უსასრულობის სიმბოლოს,.
მე -3 ნაწილი 3: ფუნქციის გრაფიკიდან დიაპაზონის პოვნა
ნაბიჯი 1. დახაზეთ ფუნქცია
ხშირად, ფუნქციის დიაპაზონის განსაზღვრის უმარტივესი გზაა მისი გრაფიკულად დაწერა. ბევრ ძირეულ ფუნქციას აქვს დიაპაზონი (-∞, 0] ან [0, +∞), რადგან ჰორიზონტალური პარაბოლას მწვერვალი (გვერდითი პარაბოლა) არის ჰორიზონტალურ x ღერძზე. ამ შემთხვევაში, ფუნქცია მოიცავს ყველა დადებით y მნიშვნელობას, თუ პარაბოლა იხსნება, ან ყველა უარყოფით y მნიშვნელობას, თუ პარაბოლა ქვევით იხსნება. ფრაქციულ ფუნქციებს ექნებათ ასიმპტოტები (ხაზები, რომლებიც არასოდეს იკვეთება სწორი ხაზით / მრუდით, მაგრამ მიახლოებულია უსასრულობამდე), რომლებიც განსაზღვრავენ ფუნქციის დიაპაზონს.
- ზოგიერთი ძირეული ფუნქცია დაიწყება x ღერძის ზემოთ ან ქვემოთ. ამ შემთხვევაში, დიაპაზონი განისაზღვრება იმ რიცხვით, სადაც იწყება ძირეული ფუნქცია. თუ პარაბოლა იწყება y = -4 და ადის მაშინ დიაპაზონი არის [-4, +∞).
- ფუნქციის დახატვის უმარტივესი გზაა გრაფიკული პროგრამის ან გრაფიკული კალკულატორის გამოყენება.
- თუ არ გაქვთ გრაფიკული კალკულატორი, შეგიძლიათ დახაზოთ გრაფიკის უხეში ესკიზი x- მნიშვნელობის ფუნქციაში ჩართვით და შესაბამისი y- მნიშვნელობის მიღებით. ჩამოაყალიბეთ ეს კოორდინატები გრაფიკზე, რათა მიიღოთ წარმოდგენა, თუ როგორ გამოიყურება გრაფიკი.
ნაბიჯი 2. იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური მნიშვნელობა
ფუნქციის დახატვისთანავე, თქვენ უნდა გქონდეთ ნათლად ხილვის გრაფიკის ყველაზე დაბალი წერტილი. თუ არ არსებობს მკაფიო მინიმალური მნიშვნელობა, იცოდეთ რომ ზოგიერთი ფუნქცია გაგრძელდება -∞ (უსასრულობა).
წილადის ფუნქცია მოიცავს ყველა წერტილს, გარდა ასიმპტოტებისა. ფუნქციას აქვს დიაპაზონი (-∞, 6) U (6,)
ნაბიჯი 3. განსაზღვრეთ ფუნქციის მაქსიმალური მნიშვნელობა
ისევ და ისევ, გრაფიკის დახატვის შემდეგ, თქვენ უნდა შეძლოთ ფუნქციის მაქსიმალური წერტილის იდენტიფიცირება. ზოგიერთი ფუნქცია გაგრძელდება +at და შესაბამისად, არ ექნება მინიმალური მნიშვნელობა.
ნაბიჯი 4. ჩაწერეთ დიაპაზონი სათანადო აღნიშვნებით
დომენების მსგავსად, დიაპაზონები იწერება ერთი და იგივე ნოტაციით. გამოიყენეთ კვადრატული ფრჩხილები [,] თუ რიცხვი დიაპაზონშია და გამოიყენეთ ფრჩხილები (,) თუ დიაპაზონი არ შეიცავს რიცხვს. ასო U მიუთითებს გაერთიანებაზე, რომელიც აკავშირებს დიაპაზონის ნაწილებს, რომლებიც შეიძლება დაშორდეს მანძილით.
- მაგალითად, დიაპაზონი [-2, 10) U (10, 2] მოიცავს -2 და 2, მაგრამ არ შეიცავს რიცხვს 10.
- ყოველთვის გამოიყენეთ ფრჩხილები, თუ იყენებთ უსასრულობის სიმბოლოს,.
