როგორ გამოვიტანოთ ნაგულისხმევი ფუნქციები: 7 ნაბიჯი (სურათებით)

2024 ავტორი: Jason Gerald | [email protected]. ბოლოს შეცვლილი: 2024-01-19 22:13

გაანგარიშებისას, როდესაც y– ს განტოლება გაქვთ დაწერილი სახით x (მაგ. Y = x² -3x), ადვილია დერივაციის ძირითადი ტექნიკის გამოყენება (მათემატიკოსები მოიხსენიებენ, როგორც ნაგულისხმევი ფუნქციის წარმოებული ტექნიკა) წარმოებულის საპოვნელად. ამასთან, განტოლებებისთვის, რომელთა შექმნა ძნელია მხოლოდ y ტერმინით ტოლობის ნიშნის ერთ მხარეს (მაგ. X² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), საჭიროა განსხვავებული მიდგომა. ტექნიკით, რომელსაც ეწოდება ნაგულისხმევი ფუნქციის წარმოებულები, ადვილია იპოვოთ მრავალ ცვალებადი განტოლების წარმოებულები, თუ თქვენ იცით მკაფიო ფუნქციის წარმოებულების საფუძვლები!

ნაბიჯი

მეთოდი 1 -დან 2 -დან: მარტივი განტოლების სწრაფად გამოტანა

ნაბიჯი 1. გამოიტანეთ x პირობები ჩვეულებისამებრ

როდესაც ვცდილობთ გამოვიტანოთ მრავალ ცვლადი განტოლება, როგორიცაა x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19, შეიძლება ძნელი იყოს იმის ცოდნა, თუ სად უნდა დაიწყოს. საბედნიეროდ, ნაგულისხმევი ფუნქციის წარმოების პირველი ნაბიჯი ყველაზე იოლია. უბრალოდ გამოიტანეთ x- ტერმინები და განტოლების ორივე მხარეს მუდმივი (აშკარა) წარმოებულების წესების მიხედვით. დროებით იგნორირება გაუკეთეთ y- პირობებს.

• შევეცადოთ მოვიყვანოთ ზემოთ მოყვანილი მარტივი განტოლების მაგალითი. x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19 – ს აქვს ორი ტერმინი x: x² და -5x. თუ გვსურს განტოლების გამოტანა, ჯერ ეს უნდა გავაკეთოთ, ასე:

  x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19

  (ჩამოწიეთ სიმძლავრე 2 x- ში² კოეფიციენტის სახით ამოიღეთ x -5x და შეცვალეთ 19 0 -ით)

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

ნაბიჯი 2. გამოყავით y ტერმინები და დაამატეთ (dy/dx) თითოეული ტერმინის გვერდით

თქვენი შემდეგი ნაბიჯისათვის, უბრალოდ მიიღეთ y ტერმინები ისე, როგორც თქვენ მიიღეთ x ტერმინები. ამჯერად, დაამატეთ (dy/dx) თითოეული ტერმინის გვერდით, როგორც თქვენ დაამატებთ კოეფიციენტებს. მაგალითად, თუ შეამცირებთ y- ს², მაშინ წარმოებული ხდება 2y (dy/dx). უგულებელყოთ ტერმინები, რომლებსაც აქვთ x და y ამ დროისთვის.

• ჩვენს მაგალითში, ჩვენი განტოლება ასე გამოიყურება: 2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0. ჩვენ შევასრულებთ y მომდევნო ნაბიჯს შემდეგნაირად:

  2x + y² - 5 + 8y + 2xy² = 0

  (ჩამოწიეთ 2 -ში y- ში² კოეფიციენტების სახით ამოიღეთ y 8y- ში და დააყენეთ dy/dx თითოეული ტერმინის გვერდით).

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy²= 0

ნაბიჯი 3. გამოიყენეთ პროდუქტის წესი ან კოეფიციენტის წესი ტერმინებისთვის x და y

ტერმინებთან მუშაობა, რომლებსაც აქვთ x და y, ცოტა სახიფათოა, მაგრამ თუ თქვენ იცით პროდუქტის წესები და წარმოებულების კოეფიციენტი, თქვენთვის ადვილი იქნება. თუ ტერმინები x და y გამრავლებულია, გამოიყენეთ პროდუქტის წესი ((f × g) '= f' × g + g × f '), შეცვლის x ტერმინს f და y ტერმინს g. მეორეს მხრივ, თუ ტერმინები x და y ურთიერთგამომრიცხავია, გამოიყენეთ კოეფიციენტის წესი ((f/g) '= (g × f' - g '× f)/გ²), მრიცხველი შეცვლის f- ით და მნიშვნელით g.

• ჩვენს მაგალითში 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2xy² = 0, ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ერთი ტერმინი, რომელსაც აქვს x და y - 2xy²რა ვინაიდან x და y მრავლდება ერთმანეთზე, ჩვენ გამოვიყენებთ პროდუქტის წესს, რომ მივიღოთ შემდეგნაირად:

  2xy² = (2x) (y²)- მითითებული 2x = f და y² = g (f × g) '= f' × g + g × f '

  (f × g) '= (2x)' × (y²) + (2x). (წ²)'

  (f × g) '= (2) × (y²) + (2x) × (2y (dy/dx))

  (f × g) '= 2y² + 4xy (dy/dx)

• ამას დავამატებთ ჩვენს მთავარ განტოლებას, ვიღებთ 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

ნაბიჯი 4. მარტო (dy/dx)

თქვენ თითქმის დაასრულეთ! ახლა თქვენ მხოლოდ უნდა ამოხსნათ განტოლება (dy/dx). ეს რთულად ჩანს, მაგრამ ეს ჩვეულებრივ არ არის - გახსოვდეთ, რომ ნებისმიერი ორი ტერმინი a და b გამრავლებული (dy/dx) შეიძლება დაიწეროს როგორც (a + b) (dy/dx) გამრავლების განაწილების თვისების გამო. ამ ტაქტიკამ შეიძლება გაუადვილოს იზოლირება (dy/dx) - უბრალოდ გადაიტანეთ ყველა სხვა ტერმინი ფრჩხილების მეორე მხარეს, შემდეგ გაყავით (dy/dx) გვერდით ფრჩხილებში არსებული ტერმინებით.

• ჩვენს მაგალითში ჩვენ ვამარტივებთ 2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0 შემდეგნაირად:

  2x + 2y (dy/dx) - 5 + 8 (dy/dx) + 2y² + 4xy (dy/dx) = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) + 2x - 5 + 2y² = 0

  (2y + 8 + 4xy) (dy/dx) = -2y² - 2x + 5

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2y + 8 + 4xy)

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

მეთოდი 2 2: მოწინავე ტექნიკის გამოყენება

ნაბიჯი 1. შეიყვანეთ მნიშვნელობა (x, y), რომ იპოვოთ (dy/dx) ნებისმიერი წერტილისთვის

Უსაფრთხო! თქვენ უკვე გამოიტანეთ თქვენი განტოლება ნაგულისხმევად - ეს არ არის ადვილი სამუშაო პირველივე ცდაზე! ამ განტოლების გამოყენება გრადიენტის (dy/dx) ნებისმიერი წერტილისთვის (x, y) ისეთივე ადვილია, როგორც x და y მნიშვნელობების შეტანა განტოლების მარჯვენა მხარეს, შემდეგ პოვნა (dy/dx) რა

• მაგალითად, დავუშვათ, რომ ჩვენ გვსურს ვიპოვოთ გრადიენტი წერტილში (3, -4) ჩვენი მაგალითის განტოლების ზემოთ. ამისათვის ჩვენ შევცვლით 3 – ს x– ით და 4 – ით y– ით, ამოვხსნათ შემდეგნაირად:

  (dy/dx) = (-2y² - 2x + 5)/(2 (2xy + y + 4)

  (dy/dx) = (-2 (-4)² - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)

  (dy/dx) = (-2 (16)-6 + 5)/(2 (2 (3) (-4))

  (dy/dx) = (-32)-6 + 5)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(2 (2 (-12))

  (dy/dx) = (-33)/(-48) = 3/48, ან 0, 6875.

ნაბიჯი 2. გამოიყენეთ ჯაჭვის წესი ფუნქციები-ფუნქციებში

ჯაჭვის წესი არის მნიშვნელოვანი ცოდნა, რომელიც უნდა გქონდეს გაანგარიშების პრობლემებზე მუშაობისას (მათ შორის ნაგულისხმევი ფუნქციის წარმოებული პრობლემების ჩათვლით). ჯაჭვის წესი აცხადებს, რომ F (x) ფუნქციისთვის, რომელიც შეიძლება დაიწეროს როგორც (f ო ზ) (x), F (x) წარმოებული უდრის f '(g (x)) g' (x) რა რთული იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული პრობლემებისთვის, ეს ნიშნავს, რომ შესაძლებელია განტოლების სხვადასხვა ცალკეული ნაწილების გამოყვანა, შემდეგ კი შედეგების გაერთიანება.

• როგორც უბრალო მაგალითი, დავუშვათ, რომ ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ცოდვის წარმოებული (3x² + x) როგორც უფრო დიდი ნაგულისხმევი ფუნქციის წარმოებული პრობლემის ნაწილი ცოდვის ცოდვისთვის (3x² + x) + y³ = 0. თუ ჩვენ წარმოვიდგენთ ცოდვას (3x² + x) როგორც f (x) და 3x² + x როგორც g (x), ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ წარმოებული შემდეგნაირად:

  f '(g (x)) g' (x)

  (ცოდვა (3x² + x)) '× (3x² +x) '

  cos (3x² + x) × (6x + 1)

  (6x + 1) cos (3x² +x)

ნაბიჯი 3. x, y და z ცვლადების განტოლებებისთვის იპოვეთ (dz/dx) და (dz/dy)

მიუხედავად იმისა, რომ უჩვეულოა ძირითადი გათვლებით, ზოგიერთმა მოწინავე პროგრამამ შეიძლება მოითხოვოს ორზე მეტი ცვლადის ნაგულისხმევი ფუნქციების წარმოება. თითოეული დამატებითი ცვლადისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ მისი დამატებითი წარმოებული x– ს მიმართ. მაგალითად, თუ გაქვთ x, y და z, თქვენ უნდა მოძებნოთ ორივე (dz/dy) და (dz/dx). ჩვენ შეგვიძლია გავაკეთოთ განტოლება x– სთან მიმართებაში ორჯერ - პირველი, ჩვენ შევიყვანთ (dz/dx) ყოველ ჯერზე, როდესაც გამოვიღებთ z შემცველ ტერმინს, და მეორე, ჩვენ ჩავსვამთ (dz/dy) ყოველ ჯერზე ზ ამის შემდეგ, ეს მხოლოდ საკითხია (dz/dx) და (dz/dy).

• მაგალითად, ვთქვათ, რომ ჩვენ ვცდილობთ გამოვიტანოთ x³ზ² - 5xy⁵z = x² + y³.

• პირველი, მოდით გამოვიყვანოთ x– ს წინააღმდეგ და შევიყვანოთ (dz/dx). საჭიროების შემთხვევაში არ დაგავიწყდეთ პროდუქტის წესის გამოყენება!

  x³ზ² - 5xy⁵z = x² + y³

  3x²ზ² + 2x³z (dz/dx) - 5y⁵z - 5xy⁵(dz/dx) = 2x

  3x²ზ² + (2x³z - 5xy⁵) (ძ/დქ) - 5 წ⁵z = 2x

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dx) = 2x - 3x²ზ² + 5 წელი⁵ზ

  (dz/dx) = (2x - 3x²ზ² + 5 წელი⁵z)/(2x³z - 5xy⁵)

• ახლავე იგივე გააკეთე (dz/dy)

  x³ზ² - 5xy⁵z = x² + y³

  2x³z (dz/dy) - 25xy⁴z - 5xy⁵(dz/dy) = 3y²

  (2x³z - 5xy⁵) (dz/dy) = 3y² + 25 კქსი⁴ზ

  (dz/dy) = (3y² + 25 კქსი⁴z)/(2x³z - 5xy⁵)